实验1：用Z变换分析LTI系统特性

一、实验目的

1、结合理论教学内容，学习和掌握利用Z变换分析系统特性的方法，加深对系统函数、零极点分布对系统特性影响的理解。

2、理解并掌握离散系统的频率响应分析。

二、实验原理

1、Z变换和逆Z变换

离散时间信号的Z变换定义为：,由Z变换表达式及相应的收敛域（ROC）求原序列的过程成为逆Z变换。求逆Z变换我们这里只讨论部分分式法。即：当X(z)是Z的有理分式时，一般可表示为：

其中A(z)、B(z)都是变量Z的实数序列多项式，且没有公因式。当将X(z)展开成部分分式后，对每一个部分分式求逆Z变换，最后将每个逆Z变换加起来即可得到所求的x(n)。

2、离散系统的系统函数与系统特性

LTI系统可用线性常系数差分方程描述为：

取其Z变换：，则系统函数

，

则为的M个零点，为的N个极点。

3、离散系统的零极点分布与系统的因果稳定性

离散系统稳定的条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点均位于Z平面的单位圆内。

4、离散系统的滤波特性

从频率角度讲，LTI系统对输入信号的响应过程实质上是利用系统幅度响应的大小，完成对信号频率成分的选择过程，从而实现让某些频率分量通过的同时而让另一些频率成分得到抑制。根据LTI系统对不同频率成分的选择特性，可将LTI系统分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器、全通滤波器。离散系统的相位响应起到对信号频率成分的不同延时效果，当满足（为常数）时，系统为线性相位系统，反之则为非线性相位系统。

三、相关Matlab函数

1、y=ztrans(x)：Z变换函数，输入参数为进行Z变换的表达式，输出参数为Z变换的结果。

2、y=iztrans(x)：Z逆变换函数，输入参数为进行Z逆变换的表达式，输出参数为Z逆变换的结果。

3、[z,p,k]=residues(b,a):有理多项式的部分分式展开函数，输入参数b、a分别表示有理多项式的分子、分母系数，输出参数z,p,k分别表示展开后的零点向量、极点向量和增益向量。

4、zplane(z,p,k):绘制零极点图，输入参数z,p,k分别表示系统函数的零点向量、极点向量和增益向量。

5、zplane(b,a):绘制零极点图，输入参数b、a分别表示系统函数的分子、分母系数。

6、Y=dlsim(b,a,x)：计算离散时间系统的系统响应。输入参数b,a分别表示的分子、分母系数，x表示输入信号，输出y表示系统的响应。不带输出参数时，可绘制系统的输出响应曲线。

7、h=dimpulse(b,a):计算离散时间系统的单位冲击响应，输入参数b,a分别表示系统函数的分子、分母系数，输出参数h是离散时间系统的单位冲激响应。当不带输出参数时，可绘制单位冲击响应曲线。

8、[h,T]=dimpulse(b,a):计算离散时间系统的单位冲击响应，输入参数b,a分别表示系统函数的分子、分母系统，输出参数h是离散时间系统的单位冲激响应,T是时间变量。

9、[h,T]=impz(b,a,N):计算离散时间系统的单位冲击响应，输入参数b,a分别表示系统函数的分子、分母系数，当N为整数向量时，仅计算N指定的整数点上的h(n)。输出参数h是离散时间系统的单位冲激响应,T是时间变量。

10、[H,W]=freqz(b,a,N):求离散时不变系统的频率响应函数，输入参数b,a分别表示系统函数的分子、分母系数，N为在0—π之间的频率抽样点数，默认N=512，输出参数H、W分别表示频率响应向量和相应的频率。

四、实验内容

1、某因果LTI系统由下面的差分方程描述：

试利用Matlab求：

（1）系统函数的零极点，并画出零极点分布图，并指出其稳定性；

（2）单位冲击响应；

（3）系统频率响应，在上画出其幅度响应和相位响应，判断系统的滤波特性。

（4）当输入信号为单位阶跃信号u(n)时，试求系统对的响应v(n)。

五、实验要求

1、撰写实验报告

2、附matlab代码及相关图形

3、及时上传至学习通