《几何原本》命题2.11【夸克欧氏几何】

命题2.11：

可将一已知线段分成两部分，使原线段与一条小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形

已知:线段AB

求：在AB上取一点，使AB与一条小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形

解：

在AB上作正方形ABDC

（命题1.46）

取AC中点E

（命题1.10）

连接BE

（公设1.1）

延长EA

（公设1.2）

在EA上截BE=EF

（命题1.3）

在AF上建正方形AH2

（命题1.46）

延长GH，与CD交点记为点K

（公设1.2）

求证：S正方形AH2=S矩形BH×AB

证：

∵点C是AB中点，AF加在了AC的一段

（已知）

∴S矩形AF×CF+S正方形AE2=S正方形EF2

（命题2.6）

∵BE=EF

（已知）

∴S矩形AF×CF+S正方形AE2=S正方形BE2

（公理1.1）

∵Rt△ABE中，S正方形AB2+S正方形AE2=S正方形BE2

（命题1.47）

∴S矩形AF×CF+S正方形AE2=S正方形AB2+S正方形AE2

（公理1.1）

∴S矩形AF×CF=S正方形AB2

（公理1.3）

∵正方形AH2中，AF=FG

（定义1.22）

∴S矩形FG×CF=S正方形AB2

（公理1.1）

∴S矩形FG×CF=S正方形AH2+S矩形AC×AH，

S正方形AB2=S矩形BH×BD+S矩形AC×AH

（已知）

∴S正方形AH2+S矩形AC×AH=S矩形BH×BD+S矩形AC×AH

（公理1.1）

∴S正方形AH2=S矩形BH×BD

（公理1.3）

∵正方形ABDC中，AB=BD

（定义1.22）

∴S正方形AH2=S矩形BH×AB

（公理1.1）

证毕

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