desmos基于单表达式的质数判断

本文主要为介绍思路与结果，不喜勿喷，欢迎讨论。本文中的变量n∈ℕ（包括0）.

思路过程：

质数即仅有两个正整因数的正整数，那么一个正数除以一个非其正整因数的数，结果一定不属于整数. 在desmos中，一个数除以一个列表，等于一个由这个数分别除以列表中的数结果的列表（例如10/[1, 2, 5, 10]=[10, 5, 2, 1]），我们得到如下式子：

显然，当n=0时，式2=n/[1...n]=0/[1, 0]，进而使列表中出现了无效数字0/0。若我们将[1...n]中的n在n=0时变为n+1，我们的推论依然可以进行. 在此介绍一种方法： 首先我们引入一个函数

sign

，作用如下： ⌠ x＜0，输出-1 sign(x) ⎮ x =0，输出0 ⌡ x＞0，输出1 借此，我们把0与其他数分为两类，再进行操作，使得所构建的式子在n=0时为1，其它情况为0。过程如下： n=0 sign(n)=0 m≠0 sign(m)∈{-1, 1} ⎮sign(n)⎮=0 ⎮sign(m)⎮=1 ⎮sign(⎮sign(n)⎮-1)⎮=1 ⎮sign(⎮sign(m)⎮-1)⎮=0 即令f(x)=⎮sign(⎮sign(x)⎮-1)⎮. x=0时f(x)=1，x≠0时f(x)=0。由此得到下式：

可见问题已解决。回到最初，我们的目标是判断列表中的数是否为n的因数，即列表中的数是否可以整除n，显然若可整除，列表中对应数为整数，否则为小数。下面展示一种判断方式（round(x)为取整函数，即四舍五入x）. a为整数，b不为整数. round(a)=a round(b)≠b round(a)-a=0 round(b)-b≠0 ⎮sign(round(a)-a)⎮=0 ⎮sign(round(b)-b)⎮=1 ⎮⎮sign(round(a)-a)⎮-1⎮=1 ⎮⎮sign(round(b)-b)⎮-1⎮=0 即令f(x)=⎮⎮sign(round(x)-x)⎮-1⎮. x为整数则f(x)=1，x不为整数则f(x)=0. 令a=f(n/[1...n+(⎮sign(⎮sign(n)⎮-1)⎮)]). 则∀a中元素，其∈{0, 1}。我们统计n的正整因数，即统计a中共有多少个1， 由于非统计元 均为0求和后不影响总量，所以 a中1的个数=∑(i=1，length(a))a[i] (length(a)表示a共有多少元素，a[i]表示a中第i个元素），如下图（n=10的情况）：

结果：

同样使用sign函数，判断上述求和式的结果是否为2即可，完整的desmos式表达式（求和部分需手动输入）：sum(i=1, length(⎮⎮sign(round(n/[1...n+(sign(⎮sign(n)⎮-1)⎮)])-n/[1...n+(sign(⎮sign(n)⎮-1)⎮)])⎮-1⎮))⎮⎮sign(round(n/[1...n+(sign(⎮sign(n)⎮-1)⎮)])-n/[1...n+(sign(⎮sign(n)⎮-1)⎮)])⎮-1⎮[i]. 当n为质数，则上式=0，否则为1.