《几何原本》命题4.4【夸克欧氏几何】

命题4.4：

可作已知三角形的内切圆

已知：△ABC

求：作△ABC的内切圆

解：

作BD平分∠ABC

（命题1.9）

作CD平分∠ACB，于BD交点记为点D

（命题1.9）

过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC

（命题1.12）

证：

∵DE⊥AB，DF⊥BC

（已知）

∴∟BED=∟BFD

（公设1.4）

∵∠ABD=∠CBD，BD公用

（已知）

∴△BDE≌△BDF，DE=DF

（命题1.26）

同理可证，DG=DF

∴DE=DF=DG

（公理1.1）

∴以点D为圆心，DE,DF,DG任意一个为半径作圆EFG经过其余的点

（公设1.3＆定义1.15）

∵DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC

（已知）

∴AB，BC，AC切于圆EFG

（命题3.16推论）

∴圆EFG是△ABC的内切圆

（定义4.5）

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用

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