【数学基础156】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（二十五）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&4.二阶常系数的线性微分方程

定义：

• 二阶常系数线性微分方程——当p(x)，q(x)为常数p，q时，即形如y''+py'+qy=f(x)的关系式。 

不使用常数变易法的3种情况：

情形二：当f(x)=pn(x)e^αx——pn(x)为关于x的n次多项式，即pn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α为实数。

思路：

step1：做变量代换，令y=z(x)e^αx——

step2：找到第一步中得到的方程的特征方程T(λ)，解出z(x)——

step3：由y=z(x)e^αx，即可求出y。

情形三：当f(x)=pn(x)(e^αx)sin βx或者f(x)=pn(x)(e^αx)cos βx——pn(x)为关于x的n次多项式，即pn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α，β为实数。

思路：

step1：辅助方程y"+py'+qy=pn(x)e^[(α+iβ)x]=pn(x)e^(μx)，μ=α+iβ；

step2：做变量代换，令y=z(x)e^(μx)——

step3：φ(x)为y"+py'+qy=pn(x)(e^αx)cos βx的解，ψ(x)为y"+py'+qy=pn(x)(e^αx)sin βx的解——