转动定理：如何自然的引出“转动惯量”这一概念
在力学的转动部分中，有这样一个极其重要的物理量－－－转动惯量，由于在一般的情况下，大多数的人在大学才会正式接触到这样一个量，所以很多人对它并不怎么熟悉。但是它在转动中的地位，可毫不亚于牛顿第二定律中“质量”的地位。那么，我们如何“自然而然”的理解这个量呢？
（注： “转动”指物体绕某点或线为轴做的曲线运动（如匀速圆周运动），另与“平动”等共同组成了机械运动的基本形式）
1.矢量的叉乘
说到这儿，不得不提矢量基本运算的另一种法则－－－叉乘（或称“向量外积”）。我们知道矢量都是有大小有方向的量，那给它定义的运算规则自然和一般的标量（数量）必然是不同的。其中，矢量乘法有两种不同的规则：点乘和叉乘，它们分别写做：
点乘：a•b＝laⅠlblcos〈a，b〉 结果是一个标量
叉乘：a×b＝lallblsin〈a，b〉e 结果是一个矢量（e为单位矢量）
从上面两式可以看出：叉乘、点乘表示的意义和结果是完全不同的，所以，各位可不要把“•”和“×”弄混了哦～
矢量外积的数值为以两矢量模长为邻边长构成平行四边形的面积，而我们既然提到这个外积它也是一个矢量，那我们如何判定它的方向呢？学过电磁学的小伙伴们请注意！熟悉的操作又要来了，现在，请大家伸出你的右手…这是要干啥呢？没错！判定叉积方向的神奇操作叫做“右手螺旋定则”，我们先让四指和矢量a重合（就是说如果两个矢量都在纸面上，那么你四指所形成的平面应该垂直于纸面，而不是掌心朝向纸面），然后，以四指的指关节为轴，向被叉乘矢量b转动，此时，你的右手拇指指向应该就是叉乘结果矢量c的方向，怎么样，你学废会了吗？
2.力矩
我们知道：力能改变物体的运动状态，在某质点的质量不变时，它的加速度与其所受合外力成正比（F＝ma）这是牛顿第二定律的内容。
那么在转动中，影响物体运动状态改变的只有合外力一个量吗？各位可以试着用差不多大小的力去推门把手的内部（近轴端）、中部和外部（远轴端），各位发现了没有，在内部用力，门把手几乎纹丝不动，而在中部，门把手则会开始缓缓地转动，而在外部，门把手“啪”的一声，很快啊！到头了。而稍微把手倾斜一个角度用力，结果也会是不一样的（当然，有测力计更为精确）
事实证明，转动物体运动状态的改变不但和作用力大小有关，还与力作用点到轴距离、作用线与轴夹角、力的大小（这肯定不用说）三个量有关，整理一下，即为：转动物体运动状态与力的大小及力的作用线与轴的距离两个量有关，而物理学上，它们被整合成了一个物理量－－－力矩（Moment of force）用以衡量力对转动物体的效应，它被定义为轴指向作用点的矢径r与作用力F的叉乘
即：M＝r×F＝lrⅠlFlsin〈r，F〉e
它是一个有大小、方向的矢量，在数值上等于力与力作用线到转轴距离的乘积
3.转动惯量的引入
好了！接下来进入正题，我们所需要做的知识储备只有牛二定律
对！！！只有牛顿第二定律！
我们先来假设一个情形：一个质量为m的质点可绕定点O在平面上做圆周运动，转动半径恒为r不变，如下图（1）
现在，我沿与OM连线成θ角方向施加一大小为F的力F，然后捏？
我们选取一个十分小的时间间隔dt，这时候，质点m的运动可以近似看成直线，代入牛顿第二定律，结果得到： F＝ma
熟悉运动学的同学可能还知道，加速度可以写成微商（求导）的形式：
我们对dv进行继续简化，在圆周运动中，由圆的性质可以推知，瞬时速度与瞬时角速度（角速度：单位时间内转过的角度）与矢径r的关系为：v＝ω×r，由于这两个矢量是垂直的关系（sin90度＝1），所以右上角那项可以直接写成d（ωr）ee，根据求导法则：
这时我们定义角加速度（β）为单位时间角速度的变化量，那将这一项乘回单位矢量，代回到原式就成了这样：
我们发现：如果在左右两边矢量的前头都叉乘上一个矢径r的话，式子的左右都可以化成转动有关的物理量，于是我在两边叉上一个r：
这时我们去做一个计算的话，就会发现r×β×r的向量的模正好是半径的平方与角加速度之积，由于这是在同一参考系，所以单位向量应该是相同的，把左边用M替换并写成标量的形式即为：
这样的形式应该顺眼多了吧，其中M是力矩，对应平动中的力，β是角加速度，对应平动中的加速度，那么mr＾2应该在转动中与质量的地位差不多，这玩意决定了相同力矩时物体运动状态变化的剧烈程度…熟悉不，这和“惯性”有着异曲同工之妙啊！于是乎，我们给它一个名字－－－转动惯量（用J或I表示），J＝mr＾2，我们的转动定理也可以写成：M＝Jβ的形式。至此，我们便从一个小球的运动中自然而然的引出了“转动惯量”，而其它奇形怪状刚体的转动惯量怎么求呢？还能用轴到质心距离的平方乘质量吗？哪有那么简单，学了牛爵爷的微积分后你就会“自然而然”的明白了！
