《虚数不虚》第十节 走进复变换

我们如何理解这个图形？

它在第一集中出现过，直到现在才再次提及。这时候，相信有的读者认为这是作者有意为之，好让大家阅读我的专栏。确实，我们之前的内容便是为接下来理解它打下基础。我会兑现承诺，去解释这个值得你用一辈子时间去回味的图形！

回顾第一节，我们谈到方程:x²+1=0在实数域是没有解的，我们需要引进虚数，把实数域扩大到复数域，我们的问题才有解。相信读者都接触过函数（Function），我们通常把函数画在一张平面上，我们通常用X轴代表定义域，Y轴代表值域。然后把这两条数轴垂直放置，这便是直角坐标系（Cartesian Coordinates），它是笛卡儿（René Descartes）在十六世纪发明的画板，用来了解两个变量之间的关系。

直角坐标系的厉害之处在于它首次运用数形结合的方式引入了函数的观念，这极大帮助了牛顿等早期科学家们确定不同类型的函数。如今，它广泛用于记录数据、预测走势等方面。

但是，直角坐标系最多只能拓展到三维空间，来研究三个变量间的关系。当我们考虑定义域和值域都是复数的复变函数时，我们需要四维空间来刻画这四个变量之间的关系，我们的维度不够用了。这意味着我们不能再用之前的方法来研究复变函数。

一种替代的方法是用两个平面分别记录函数的定义域、值域。为了与实变量函数区别开来，我们把自变量改称为z，把因变量改称为w。

因为z，w都是复数，我们令：

z=x+iy w=u+iv

其中

x，y是自变量

u，v是因变量

现在我们来研究函数f(z)=z²+1：

首先我选择一个数z=1+i ，他在复平面的坐标是(1,1)。经运算我们得到w=1+2i，坐标是(1,2)

把这两个点分标在两个平面上，可以看到点（1,1）被函数移动到了点（1,2）。数学家更喜欢用映射（map）这个词来描述这个过程。让我们尝试更多点，看看我们能不能找出规律：

直线是最简单的图形，如果我们在直线上取五个点，重复上述的过程，我们会发现这五个点分别映射到了不同的位置上，直线变成了曲线。为了加快速度，我们用电脑实现这个过程。准备好了吗？让我们画多几条直线：

我们首先沿x轴、y轴正向画一条直线，可以看到它们映射后还是直线，但是沿着y轴的直线却旋转了90°。随着划出越来越多的直线，我们逐渐发现了一种规律：

那些与x轴、y轴平行的直线簇在映射f(z)=z²+1下变成了曲线簇。

我们发现了有趣的变换现象，我们如何解释它们？

更重要的是，这与我们之前所学的知识相悖吗？

还有什么图形可以作为探究映射规律的有力工具？希望你课下大胆尝试！

下一节，译者将手把手教大家用Python实现图像变换，敬请期待！