一道最值题的几何法

原视频参考：BV1BQ4y1m7S3

|a+2b+3c|/√(a²+b²+c²)

=|a+2b+3c|/[√(a²+b²+c²)√(1²+2²+3²)]*√14
记→m=(a,b,c),→n=(1,2,3),起点均为原点
则原式=|cos<→m,→n>|*√14
即求角<→m,→n>最小值
其中→m终点坐标在平面a+b+c=0上
→n终点坐标为(1,2,3)
即→n为空间直线l₁的方向向量
转化为求取l₁与平面内直线的最小值
由三余弦定理(最小角定理)可知
最小角即l₁与平面所成线面角
取平面一法向量为(1,1,1)
此时sin<→n,→m>=cos<(1,1,1),(1,2,3)>
=(1*1+1*2+1*3)/[√(1²+1²+1²)*√(1²+2²+3²)]
=6/(√3*√14)=2√3/√14
则cos<→n,→m>=√2/√14
原式=√2/√14*√14=√2