万有引力与宇宙航行(必修二第七章，总结笔记)

2023-04-02 21:38 作者:syr56 0人读过 | 我要投稿

1.行星的运动；2.万有引力定律；3.万有引力理论的成就；4.宇宙航行；5.相对论时空观与牛顿力学的局限性

1.行星的运动

（1）两种对立的学说

【地心说】

①地球是宇宙的中心，是静止不动的；②太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；③地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密.

【日心说】

①太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动；②日心说的代表人物是哥白尼.

局限性：古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动.

（2）开普勒定律

开普勒研究了第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。

①第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。

②第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

如图1所示，在相等的时间内，面积 $S_A%3DS_B$ ，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。

近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。

③第三定律(周期定律)：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。其表达式为 $%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3Dk$ ，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是公转周期，是k一个对所有行星都相同的常量。

如图2所示，由 $%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3Dk$ 知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长。比k一个对所有行星都相同的常量。

该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值大小由中心天体决定。

（3）行星运动的近似处理

①行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

②行星绕太阳做匀速圆周运动。

③所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即 $%5Cfrac%7Br%5E3%7D%7BT%5E2%7D%3Dk$ 。

当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。

2.万有引力定律

（1）行星与太阳间的引力

行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动。设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，天文观测测得行星公转周期为T。

由开普勒第三定律可得太阳对行星的引力为： $F%5Cpropto%5Cfrac%7Bm%7D%7Br%5E2%7D$ ，由牛顿第三定律可得太阳对行星的引力为： $F'%5Cpropto%20%5Cfrac%7Bm_%7B%E5%A4%AA%7D%7D%7Br%7D$ ，故行星合太阳间的引力可以写为： $F%5Cpropto%20%5Cfrac%7Bm_%7B%E5%A4%AA%7Dm%7D%7Br%5E2%7D$ ，写成等式： $F%3DG%5Cfrac%7Bm_%7B%E5%A4%AA%7Dm%7D%7Br%5E2%7D$ 。其中G为常数。

月-地检验：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。

（2）万有引力定律(law of universal gravitation)

内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 $m_1$ 和 $m_2$ 的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。

表达式： $F%3DG%5Cfrac%7Bm_1m_2%7D%7Br%5E2%7D$ ，其中G叫作引力常量(gravitational constant)。

适用条件：①两个质点间的相互作用；②一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离；③两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离。

牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。

英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验推算出引力常量G的值。通常情况下取 $G%3D6.67%5Ctimes%2010%5E%7B-11%7DN%5Ccdot%20m%5E2%2Fkg%5E2$ 。

（3）重力与万有引力的关系

【物体在地球表面上所受引力与重力的关系】

除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F'提供向心力，另一个分力为重力G，如图3所示。

①当物体在两极时： $G%3DF_%7B%E5%BC%95%7D$ ，重力达到最大值 $G_%7Bmax%7D%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

②当物体在赤道上时： $F'%3Dm%5Comega%5E2R$ 最大，此时重力最小 $G_%7Bmin%7D%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D-m%5Comega%5E2R$ 。

③从赤道到两极随着纬度增加，向心力 $F'%3Dm%5Comega%5E2R$ 减小， $F'$ 与引 $F_%7B%E5%BC%95%7D$ 夹角增大，故重力G在增大，重力加速度增大。

由于向心力、万有引力、重力不在同一直线上，重力与万有引力方向有偏差，重力大小 $mg%3CG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

【重力与高度的关系】

若距离地面的高度为h，则 $mg'%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7B(R%2Bh)%5E2%7D$ 为地球半径，g'为离地面h高度处的重力加速度)。在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。

【注意】

①重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。

②在忽略地球自转的情况下，认为 $mg%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

3.万有引力理论的成就

（1）“称量”地球的质量

地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力。

由万有引力定律可得： $mg%3DG%5Cfrac%7Bmm_%7B%E5%9C%B0%7D%7D%7BR%5E2%7D$ ，得到 $m_%7B%E5%9C%B0%7D%3D%5Cfrac%7BgR%5E2%7D%7BG%7D$ ，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。

类似地，若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。

（2）计算天体的质量

质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。

由牛顿第二定律合和万有引力定律可得： $%5Cfrac%7BGmm_%7B%E5%A4%AA%7D%7D%7Br%5E2%7D%3Dm%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7Dr$ ，得到 $m_%7B%E5%A4%AA%7D%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2r%5E3%7D%7BGT%5E2%7D$ ，只要再知道引力常数G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。

若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。

（3）发现未知天体

海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

（4）预言哈雷彗星回归

英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。

（5）天体质量和密度的计算方法

【重力加速度法】

已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力： $mg%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ 。

可以得到天体质量为： $M%3D%5Cfrac%7BgR%5E2%7D%7BG%7D$ ；天体密度为 $%5Crho%3D%5Cfrac%7BM%7D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20R%5E3%7D$ 。

g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动。

【环绕法】

行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力充当向心力： $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dm(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2r$ 。

得到中心天体质量： $M%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2r%5E3%7D%7BGT%5E2R%5E3%7D$ ；天体密度： $%5Crho%3D%5Cfrac%7BM%7D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20R%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Cpi%20r%5E3%7D%7BGT%5E2R%5E3%7D$ 。

这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量。公式中T为公转周期，r为轨道半径，R为中心天体半径。

（6）天体运动的分析与计算

一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，可以得到基本公式： $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dma_n%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%7D%3Dm%5Comega%5E2r%3Dm%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7Dr$ 。

忽略自转时， $mg%3DG%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E2%7D$ ，整理可得： $GM%3DgR%5E2$ 。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用 $gR%5E2$ 替换GM， $GM%3DgR%5E2$ 被称为“黄金代换式”。

【天体运动的物理量与轨道半径的关系】

①由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D$ 得 $v%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGM%7D%7Br%7D%7D$ ；

②由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dm%5Comega%5E2r$ 得 $%5Comega%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGM%7D%7Br%5E3%7D%7D$ ；

③由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dm(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D)%5E2r$ 得 $T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Br%5E3%7D%7BGM%7D%7D$ ；

④由 $G%5Cfrac%7BMm%7D%7Br%5E2%7D%3Dma_n$ 得 $a_n%3D%5Cfrac%7BGM%7D%7Br%5E2%7D$ 。

结论：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。②卫星的轨道半径r越大，v、 $%5Comega$ 、 $a_n$ 越小，T越大，即越远越慢。

4.宇宙航行

（1）宇宙速度(cosmic velocity)

牛顿的设想：把物体从高山上水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星。

常见的宇宙速度有三个，分别为第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度，其大小和意义如下表所示。

【第一宇宙速度的推导】

①物体绕地球的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有 $G%5Cfrac%7Bmm_%7B%E5%9C%B0%7D%7D%7BR%5E2%7D%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ ，得到 $v_1%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGm_%7B%E5%9C%B0%7D%7D%7BR%7D%7D$ ，地球半径R=6400km，地球质量 $m_%7B%E5%9C%B0%7D%3D5.98%5Ctimes%2010%5E%7B24%7Dkg$ ，万有引力常量 $G%3D6.67%5Ctimes10%5E%7B-11%7Dm%5E2%2Fkg%5E2$ 。

②近似求解：如图3所示，向心力和重力是万有引力的分力，向心力与重力相比小很多，所以可以近似地认为重力和万有引力大小相同，即从原来的万有引力提供向心力变为重力提供向心力，则有 $mg%3Dm%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$ ，得到 $v_1%3D%5Csqrt%7BgR%7D$ 。

【宇宙速度的含义】

①第一宇宙速度

是近地卫星的圆轨道运行速度，大小为7.9 km/s，也是卫星圆轨道的最大运行速度。

人造卫星的最小发射速度，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，需要更多能量。

②第二宇宙速度

在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度，其大小为11.2km/s。当发射速度7.9km/s<v_0<11.2km/s时，物体绕地球运行的轨迹是椭圆，且在轨道不同点速度大小一般不同。

③第三宇宙速度

在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7 km/s。

（2）人造地球卫星

卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图7.5所示。

因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心。

【地球同步卫星的特点】

地球同步卫星位于赤道上方高度约36000 km处，因相对地面静止，也称静止卫星。地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，“同步”的含义就是和地面保持相对静止，周期与地球自转周期相同。

定周期：所有同步卫星周期均为T=24h。

定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东。

定高度：由 $G%5Cfrac%7BmM%7D%7B(R%2Bh)%5E2%7D%3Dm%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7BT%5E2%7D(R%2Bh)$ 可得，同步卫星离地面高度为 $h%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7BGMT%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%7D-R%5Capprox3.58%5Ctimes%2010%5E%7B4%7Dkm%5Capprox6R$ 。

定速度：由于同步卫星高度确定，轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变。

定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变。

人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度为 $v_1%3D7.9km%2Fs$ ，最小周期对应为 $T%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20R%7D%7Bv_1%7D%5Capprox85min$ 。

（3）载人航天与太空探索

①1961年苏联宇航员加加林进入东方一号载人飞船，铸就了人类首次进入太空的丰碑。

②1969年，美国阿波罗11号飞船发射升空，拉开人类登月这一伟大历史事件的帷幕。

③2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨利伟送入太空，截止到2017年底，我国已经将11名航天员送入太空，包括两名女航天员。

④2013年6月，神舟十号分别完成与天宫一号空间站的手动和自动交会对接；2016年10月19日，神舟十一号完成与天宫二号空间站的自动交会对接。2017年4月20日，我国发射了货运飞船天舟一号，入轨后与天宫二号空间站进行自动交会对接、自主快速交会对接等3次交会对接及多项实验。

5.相对论时空观与牛顿力学的局限

（1）相对论时空论

19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c。

1887年迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符。

爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。

低速：通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体皆为低速运动物体。

高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速。

【时间延缓效应(钟慢)】

如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为 $%5CDelta%20%5Ctau$ ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为 $%5CDelta%20t$ ，那么两者之间的关系是 $%5CDelta%20t%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Ctau%7D%7B%5Csqrt%7B1-(%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D)%5E2%7D%7D$