【数学基础128】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep40】数列性质一小波攻势中的预备定理2：有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；
   

2. 夹逼准则：若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，则lim yn=a；

3. 定义：设f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+……+a1x+a0，如果an≠0，那么称anx^n是f(x)的首项，称n是f(x)的次数，记作deg f(x)或deg f.
   

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——

按定义证明下列数列是无穷小量——

1. {3^n/n!}；

2. {n!/n^n}；

3. {1/n-1/（n+1）+1/（n+2）-…+[（-1）^n]/（2n）}.

证：

1. 注意到从n>=6开始，之后每一个因数都小于1/2——

1. 3^n/n!

   =（3^5/5!）[3^（n-5）/（6*7*……*n）]

   <（3^5/5!）[3^（n-5）/6^（n-5）]

   =（3^5/5!）*[（1/2）^（n-5）]；

2. 3^5/5!是一个常数，lim（1/2）^（n-5）=0，由预备知识1：{3^n/n!}为无穷小量。

2. 注意到每个因数都不大于1——

1. 0
   

   <n!/n^n

   =（1/n）（2/n）……（n/n)

   <1/n；

2. lim 1/n=0，由夹逼准则：{n!/n^n}为无穷小量。

3. 从第一项开始两两合并看，注意到合并的每一项都大于0，从第二项开始两两合并成，注意到合并的每一项都小于0——

1. 0

   <[1/n-1/（n+1）]+[1/（n+2）-1/（n+3）]……

   =1/n+[-1/（n+1）+1/（n+2）]+……

   <1/n；

2. lim 1/n=0，由夹逼准则：{1/n-1/（n+1）+1/（n+2）-…+[（-1）^n]/（2n）}为无穷小量。
   

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

在三角形ABC中，设AB=e1，AC=e2.设D，E是边BC的三等分点，将向量AD，AE分解为e1，e2的线性组合.

解：

1. D，E是边BC的三等分点，即BD=BC/3=（AC-AB）/3=（e2-e1）/3，BE=2BC/3=2（AC-AB）/3=2（e2-e1）/3；

2. AD=AB+BD=e1+（e2-e1）/3=（2e1+e2）/3，

   AE=AB+BE=e1+2（e2-e1）/3=（e1+2e2）/3.
   

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

（命题）设f(x)，g(x)∈K[x]，则

deg(f±g)<=max{deg f，deg g}，

deg(fg)=deg f+deg g.

证：

1. 如果f=0或g=0，那么上二式显然成立；

2. 若f≠0且g≠0，则

1. f(x)=a0+a1x+……+anx^n，an≠0，deg f=n；

2. g(x)=b0+b1x+……+bmx^m，bm≠0，deg g=m；

3. 不妨设n>=m，则f(x)±g(x)=(a0±b0)+……+(am±bm)x^m+……+anx^n，因此

   deg(f±g)<=n=max{deg f，deg g}；

4. 因为an≠0，bm≠0，则anbm≠0，故而anbmx^（n+m）是f(x)g(x)的首项，从而

   deg(fg)=n+m=deg f+deg g.