欢迎光临散文网会员登陆 & 注册

对指数型极限

2023-06-30 21:02 作者:你不是我的小花生 0人读过 | 我要投稿

今天聊一聊对指数型极限

常见的对指数一共有两类，第一类是 $0%5E%E2%88%9E$ 、 $%E2%88%9E%5E0$ ，第二类是 $1%5E%E2%88%9E$

但从做题的角度来说两者没有任何区别，都是使用对指数转化，将底数固定后，转而讨论幂的极限，其实如果用恋爱的角度去分析对指数型极限会发现，学数学的活该单身：

双向奔赴不值得（底数和幂次同时变化）

单相思赛高（固定底数或固定次数）

提到了固定底数，或者说是更换底数可能更为合适，这就一定会提及高中数学中的对指数转换公式（换底公式其实不怎么用，毕竟我们基本上只讨论 $e%2Cln$ ），然后公式就来咯~

$x%5Ea%3De%5E%7Balnx%7D$ $f(x)%3Dln(e%5E%7Bf(x)%7D)%20$

第一类经过对指数转换后会发生如下变化：

$0%5E%E2%88%9E%3De%5E%7B%E2%88%9E%5Ccdot%20ln0%7D$

从这里我们会发现一个极有意思的事情，由于 $lnx$ 的定义要求 $x%3E0$ ，而在 $x%E2%86%920$ 的过程中，有 $0%5E%2B$ 和 $0%5E-$ 两种情况，所以，底数的无穷小，一定是一个大于零的无穷小；

所以当我们看到 $x%E2%86%920%5E%2B$

或是类似 $(1-cosx)$ 这种非负底数时就可以考虑考虑是不是对指数的题型。

由于 $ln0$ 是取到了 $-%E2%88%9E$ ，所以，幂次上就变成了 $0%5Ccdot%20%E2%88%9E$ 的情况，这时候我们可以选择的方法就只剩下基础的倒代换了。

栗01

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20)%5E%7Btanx%7D$

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20x%5E%7Bln%5Cfrac%7B-1%2Blnx%7D%7B1%2Blnx%7D%20%7D$

$%E2%88%9E%5E0$ 是同理的，我们不做过多陈述。

接着是第二类的 $1%5E%E2%88%9E$ ，很多人都是背了下面的这个公式：

$%20(1%2Bu)%5Ev%3De%5E%7Buv%7D$

$u%5Ev%3D%20e%5E%7Bv(u-1)%7D$

我个人建议还是要理解一下或推导一次：

$u%E2%86%920$

$%5Clim_%7B*%7D%20(1%2Bu)%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20(((1%2Bu)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%7D%7D)%5Eu)%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20e%5E%7Buv%7D$

$u%E2%86%921$

$%5Clim_%7B*%7D%20u%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20(((1%2B(u-1))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bu-1%7D%7D)%5E%7Bu-1%7D)%5Ev%3D%5Clim_%7B*%7D%20e%5E%7Bv(u-1)%7D$

所谓的第二类其实只是省略了对指数转换的过程，直接套用了最后的结果，核心还是固定底数。

栗02

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(1%2Bx)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$

有点单调？幂次上可以将用常见的等价无穷小去代替x

$(1%2Bx)%5Ea-1%EF%BD%9Eax$

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(1%2Bx)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B(1%2Bx)%5Ea-1%20%7D$

再把x增加个符号，把幂次改成开根号

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(1-x)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B1-%5Csqrt%7B1-x%7D%20%7D$

栗03

当然也可以用等价无穷小去替换底数的1

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20(%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bx%7D%20)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B1-cosx%7D%20$

复杂点可以改变趋向性

$%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D%20(cos%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20)%5E%7Bx%5E2%7D$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20(ntan%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20)%5E%7Bn%5E2%7D$

再难一些可以结合一下极限的运算规则——可拆性

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20(%5Cfrac%7Ba%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%2Bb%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%2Bc%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%7D%7B3%7D)%5Ex%2Ca%E3%80%81b%E3%80%81c%3E0$

本日练习

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20(x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%20$
$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(e%5E%7B2x%5E2%7D%2Bcosx-1)%5E%7Bcot%5E2x%7D$
$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B1%2Bxe%5E%7B2x%7D%7D%20)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20$
$%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%20x%5E%7Bsinx%7D$
$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5E%7B2x%7D%2B%E2%80%A6%2Be%5E%7Bnx%7D%7D%7Bn%7D)%5E%7B%5Cfrac%7Be%7D%7Bn%7D%7D%20%2Cn%E4%B8%BA%E7%BB%99%E5%AE%9A%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0$

点赞满100，出视频讲解~~

标签：恋爱可耻谈恋爱不如学数学谈恋爱不如考研谈TMD恋爱数学不香吗高等数学考研数学赛高

对指数型极限的评论 (共条)