关于满同态和它的核的一些东西

考虑两个群G1和G2，f是G1到G2的满同态，有这么两个结论：

①：若f(a)=α，则α的原像为a*kerf 或 kerf*a，a∈G1、α∈G2

②：|G1|=|G2|*|kerf|，

②是①推论，从②来看kerf的大小可以衡量满射的尺度，如果kerf有五个元素的话，那么映射图应该是像这样的。

这里来解释一下①是怎么来的：

G1到G2有满同态映射f，G1可能有多个元素映射到相同的元素，比如f(a)=f(ax)=α，ax是a的任意原像：

根据同态性质有

所以a^-1*ax ∈ kerf，所以a*kerf是原像。

例子：Z[x]是整数环Z上的一元多项式环，2 ∈Z，由2确定一个映射Φ，此映射的作用是将2带入多项式中：Φ(Z[x])=Z[2]，这个映射是满同态映射。

那么问Z[x]中映射到3的元素有哪些？也就是3的原像是哪些。

我们只需要找到一个映射为3的元素f(x)和Φ的核kerΦ就行，根据①，答案是f(x)+kerΦ。

多项式f(x)=3，Φ(f(x))=3，接下来找到kerΦ就行。

kerΦ是所有根为2的多项式，根据贝祖定理，x-2整除kerΦ中的元素，所以我们用x-2乘上整个一元多项式环得到了kerΦ，所以答案可以是x-2*R[x]+3。

Φ(x+1)=3，所以答案也可以是x-2*R[x]+(x+1).................

  (x-2)+3=x+1

  (x-2)^2+(x+1)=5-3x+x^2

  (x-2)^2+(5-3x+x^2)=9-7x+2x^2

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