《几何原本》命题4.14【夸克欧氏几何】

命题4.14：

可作一正五边形的外接圆

已知：正五边形ABCDE

求：作正五边形ABCDE的外接圆

解：

作CF平分∠BCD

（命题1.9）

作DF平分∠CDE，与CF交点记为点F

（命题1.9）

连接AF，BF，EF

（公设1.1）

证：

类似地，通过前面的方式可证

AF平分∠BAE，

BF平分∠ABC，

EF平分∠AED

∵∠BCF=∠DCF

（已知）

∴∠BCD=2∠DCF

（公理1.2）

∵∠EDF=∠CDF

（已知）

∴∠CDE=2∠CDF

（公理1.2）

∵∠BCD=∠CDE

（已知）

∴∠DCF=∠CDF

（公理1.1）

∴CF=DF

（命题1.6）

同理可证，AF=BF=CF=DF=EF

∴以点F为圆心，AF,BF,CF,DF,EF任意一个为半径作圆ABCDE经过其余的点

（公设1.3＆定义1.15）

∴圆ABCDE是正五边形ABCDE的外接圆

（定义4.6）

证毕

此命题的证明方法将在本卷后几个命题中经常被提到

PS：按照这一命题中的方法，可以作已知正n边形的外接圆

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