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第 一章  函数与极限

第一节 映射与函数

二、映射

a.映射概念

概念：

• 映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y，

  其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x)，即y=f(x)，

  而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像；

  集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；

  X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f(X)，即Rf=f(X)={f(x)|x∈X}。

• 满射：设f是从集合X到集合Y的映射，若Rf∈Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的满射。

• 单射：若对X中任意两个不同元素，x1≠x2，f(x1)≠f(x2)，则称f为X到Y的单射。

• 一一映射（双射）：若映射既是单射，又是满射，则称f为一一映射（或双射）。

• 算子：映射又称为算子，根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。

• 泛函：从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函。

• 变换：从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换。

• 函数：从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数。

b.逆映射与复合映射

概念：

• 逆映射：设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf，有唯一的x∈X，适合f(x)=y，于是，我们可定义一个从Rf到X的新映射g，即g:Rf→X，对每个y∈Rf，固定g(y)=x，这x满足f(x)=y，这个映射g称为f的逆映射，记作

    ——值域

• 复合映射：设有两个映射

    ——则由映射g和f可以定出一个从X到Y的对应法则，它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z，

    ——这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，该映射称为映射g和f构成的复合映射，记作

三、函数

a.函数概念

概念：

• 函数：设数集

    ——则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x),x∈D，

    ——其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D。

• 函数值：函数定义中，对每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x)；

• 函数关系：因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系；

• 值域：函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即

b.函数的几种特性

概念：

• 上界：设函数f(x)的定义域为D，数集

     ——如果存在数K1，使得f(x)<=K1，对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，

    ——而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。

• 下界：如果存在数K2，使得f(x)>=K2，对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。

性质：

• 函数的有界性：如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成f(x)在X上无界；

• 函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间

    ——如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，

    ——则称函数f(x)在区间I上时单调增加的；

    ——如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，

    ——则称函数f(x)在区间I上时单调减少的；

    ——单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

• 函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一x∈D，f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；

  如果对于任一x∈D，f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数。

• 函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个整数l，使得对于任一x∈D有(x±l)∈D且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

c.反函数与复合函数

概念：

• 反函数：对每个y∈f(D)，有唯一的x∈D，使得f(x)=y，于是有

    ——这就是说，反函数的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的。

• 复合函数：函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数通常记作

d.函数的运算

运算：

e.初等函数

类型：