谈谈1+1表法数r2(N)的下限值≥[N/(lnN)^2]

崔 坤

中国山东青岛即墨, 266200, E-mail：cwkzq@126.com

摘要:本文是用综述的方法回顾了素数的起源与发展，把古老的埃氏筛法推广到双筛法，

  运用了素数定理对哥猜表法数真值公式的下限值分析获得了r2(N)≥[N/(lnN)^2]

任何一个公式在其定义域内没有反例才是真正的共识。

关键词：素数，素数定理，埃拉托斯特尼筛法，互逆共轭等差数列，哥猜数，双筛法

1.古老的素数：

素数,又称质数,是只能被1或者自己整除的自然数。

埃拉托斯特尼：

公元前276年出生于昔兰尼，即现利比亚的夏哈特;公元前194年逝世于托勒密王朝的亚历山大港)，希腊数学家、地理学家、历史学家、诗人、天文学家。埃拉托斯特尼的贡献主要是设计出经纬度系统，计算出地球的直径。

2.埃拉托斯特尼筛法：当年埃拉托斯特尼找来一张旧羊皮，在上面写出一排非零自然数n，然后：把不大于n^1/2的所有素数的倍数扣洞，留下的孤岛就是获得的n内的所有素数。

给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；

接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

这样得到的：1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43，….都是素数。

3.素数定理：是素数分布理论的中心定理，

设n≥1，以π(n)表示不超过n的素数的个数，当n→∞时，π(n)～n/ln(n)。

根据素数定理可知那么不超过n【n≥6】的素数的个数至少有[n/ln(n)]

4.互逆共轭等差数列：

等差数列A:1,3,5,7,9,11，…，（2n-1）

等差数列B:(2n-1),(2n-3),(2n-5), …,5,,3,1

偶数N=A+B大于等于6

5.哥猜数：偶数N≥6双记法下的1+1表法数个数，用r2(N)表示

6：双筛法：对于互逆共轭数列AB按照埃拉托斯特尼筛法进行筛选素数的方法。

7：双筛法步骤：对于共轭互逆数列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

显然N=A+B

根据埃氏筛法获得奇素数集合{Pr}：

｛1，3，5，…，Pr｝,Pr＜√N

为了获得偶数N的(1+1)表法数，按照双筛法进行分步操作：

第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1

第2步：将余下的互逆数列再用5双筛后得到真实剩余比m2

第3步：将余下的互逆数列再用7双筛后得到真实剩余比m3

…

依次类推到：

第r步：将余下的互逆数列再用Pr双筛后得到真实剩余比mr

这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数，根据乘法原理有：

r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：

[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},

3|/70，首先这35个奇数用3双筛后得到剩余13个奇数，则其真实剩余比：m1=13/35

5|70, 剩余的13个奇数再用5双筛剩余10个奇数，则其真实剩余比：m2=10/13

7|70, 剩余的10个奇数再用7双筛剩余10个奇数，则其真实剩余比：m3=10/10

根据真值公式得：

r2(70)

=(70/2)*m1*m2*m3

=35*13/35*10/13*10/10

=10

r2(70)=10

分析双筛法r2(N)的下限值：

双筛法第一步:先对A数列筛选，根据素数定理，A中至少有[N/lnN]≥1个奇素数，

即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN]个奇素数

第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的1/lnN

则根据乘法原理由此推得共轭数列AB中至少有: [N/lnN]* 1/lnN=[N/(lnN)^2]个共轭奇素数。

例如：30

第一步:先对A数列筛选，A中至少有[N/lnN]= [30/ln30]=8个奇素数,而π(30)=10

即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN]= [30/ln30]=8个奇素数。

A

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

B

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的1/lnN,由此推得共轭数列AB中至少有:

 [30/ln30]* 1/ln30=[30/(ln30)^2]=2个共轭奇素数,而r2(30)=8

A

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

B

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

8.结论：

哥猜数r2(N)的下限值≥[N/(lnN)^2]

9.参考文献：

[1]华罗庚，《数论导引》，科学出版社，1957-07

[2]王元，《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-3

[3]李文林，《数学瑰宝——历史文献精选》，科学出版社，1998年，第368页

[4]百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86/1972457?fr=kg_general