AWGN信道下的误码率分析-BPSK

录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1bs4y1d7zY/

这篇文章主要是翻译了一篇英文博客的，自己略加修改。

原文链接： https://www.gaussianwaves.com/2012/07/intuitive-derivation-of-performance-of-an-optimum-bpsk-receiver-in-awgn-channel/



信道是 AWGN 信道，没有衰落，则可以表示为：   r = x + w

其中 x 是 BPSK 调制， w 是高斯白噪声，符合均值为 0 ，方差为  $$\frac{N_0}{2}$$ 的 高斯分布。

因为 x 是 BPSK  调制，我们假定其信号能量为 Es (因为是 BPSK，所以 Eb = Es).

当传输的比特 是 0 时，则 ， 因为 w 是均值为 0 ，方差为   的 高斯分布，所以， r  是均值为  ，方差为   的 高斯分布.

当传输的比特 是 1 时，则 ， 因为 w 是均值为 0 ，方差为   的 高斯分布，所以， r  是均值为  ，方差为   的 高斯分布.

表示成数学公式为：

那么做最优判决的时候，如下图所示：

那么发生比特错误的情况为：

* 发送的是 0，但是被判决为 1
* 发送的是 1，但是被判决为 0

用数学公式表示为：

即：

其中 D 表示 Decided，即被判决出来的; T 表示 transmit，即发送的。

用贝叶斯定理，公式 (3) 可以表示为：

从下图的示意，我们可以知道  和  的数学表达式，实际上表示的就是下图中红色的区域的概率。

则：

以及：

把公式 (1A) 代入 (5A)，把公式 (1B) 代入 (5B) 有：

以及

因为这两个分布具有对称性，所以，公式 (4) 可以推导为（把公式 6 A  和 B 代入公式 (4) ，并利用对称性 ， 且发送的符号是等概率分布的）：

我们继续来分析公式 (7) 中的积分公式，做积分变量的变量代换，令：

 则积分上下限就变成：

则公式(7) 的积分就变成：

这里就刚好是推导出来了 Q 函数的模样， 均值为 0 ，方差为 1 的标准正态分布，从 x 开始一直到无穷，计算其概率的大小，这是一个关于 x 的函数，即 Q(x)，定义如下：

把公式 (8) 和 (9) 逐级带回到 (7) 有：

画上图的 Python 代码