【googology】递增元序列IUN（上，2.625难度）

2023-03-05 00:41 作者:3183丶4139 0人读过 | 我要投稿

递增元序列 (Increase Unit Notation)，简称IUN，是我第一个完全原创的较为强大的记号。

本文约11000字，大部分内容是分析大小，讲原理的部分相对不复杂，但难度同样不低。

目录：
1：概念与定义
2：1,2,2,2,3之前的序列
3：1,2,2,3，等于Γ₀
4：序列中的ψ外壳
5：解锁反射序数记号
6：IUN的极限
7：历史和扩展

本文分为上中下三个部分，本部分为上，包含“概念与定义”、“1,2,2,2,3之前的序列”、“1,2,2,3，等于Γ₀”三个内容。

1：概念与定义

IUN虽然名字叫Notation，但是是一个自然数序列。一般情况下，IUN中能出现的最小数字是1，即用n个1表示序数n（当然把每一项减1，用n个0表示序数n也不影响）；例如(1,1,1,1)[0]=序数4。

对于后继序数的处理，IUN类似于HH，即(A,1)[n]=(A)[n+1]，并定义()[n]=序数n，如(1,1,1,1)[0]=(1,1,1)[1]=(1,1)[2]=(1)[3]=()[4]=4。

IUN的极限表达式是1,2,3,4,5,6,...，但仅在1,2,1,1,2之前与原始序列PrSS相同，因为IUN的基本单位不是单个的项，而是后继元。

什么是后继元呢？在某一个序列的表达式中（以1,2,3,4,2,3,4,4为例），选取任意一项（如1,2,3,4,2,3,4,4），以这一项为中心，找到包含这一项的 1,2,3,4,5,6,...中的一部分（1,2,3,4,2,3,4,4），这个2,3,4就是一个后继元，每一项都是前一项的后继（注意必须选取其中最大长度的，这个后继元不能是单独的2,3）。

名字叫“递增元序列”，想必递增元也是存在的。递增元和后继元类似，但每一项都不小于它的前一项就能构成递增元（1,2,3,4,2,3,4,4）。

在IUN中，后继元远远比递增元重要，只是因为在IUN的发展过程中，在2月20号之前，IUN的核心还是递增元。

以下为IUN的数学定义（不做严谨分析的可以跳过）

另外，我还写了展开IUN表达式的程序（我只学过C，也不太会，所以代码有点乱；若程序的展开结果与数学定义不同，以数学定义为准；不想研究与数学定义不同之处的可以跳过）

以下是不严谨的语言描述（还是建议跳过）

    后继元：序列中以某个项为中心取最长的0,1,2,3,4,5,...中连续的一部分
    单后继元：只由一个数构成的后继元
    递增元：序列中以某个项为中心取最长的对应数列是不减数列的一部分
    递增元差：递增元内的末项减首项
    递增元位差：递增元内某一个后继元的末项减递增元的首项
    待坏项：找到序列的末后继元；如果这个后继元不是单后继元，那么待坏项是这个后继元去掉末项；否则是单后继元减1
    n阶待坏项：待坏项的待坏项的待坏项的...的待坏项的待坏项，最高阶待坏项就是1

如果末项是1，A,1[n]=A[n+1]；否则要找坏根：
若前面有2个相连且等差的后继元组，它们的首项与单后继元的末项-1 形成等差数列，或与末项-1形成非常数等差数列；同时其中第二个后继元组的首项比它后面的项都要小(如果公差是0则可以并列最小)，则这个首项是坏根
否则在序列中找所有阶的待坏项，如果找到了，那么其中待坏项末项序号最大的待坏项的下一项就是坏根（该待坏项与末项不在同一个递增元时，需满足其所在的递增元位差不小于末递增元差），否则首项是坏根；

设坏根是b，末项是x+1，令x=b+d，用A和C表示坏根前的项和坏根后的项，则整个序列等于A,b,C,x+1。A,b,C,x+1[n]=A,b,C,b+d,C+d,b+2d,C+2d,...,C+nd[n]，其中C+m表示C中的每一项都加上m。

2：1,2,2,2,3之前的序列

在1,2,2,2,3之前，IUN只由1和2构成，极限是ε₀；仅仅在这里，就会用上所有的规则。

在任何IUN表达式展开之前，如果对IUN不是十分了解，都要把这个表达式拆分成后继元。例如1,2,2,1,2,1,2,2，拆分记为1,2 2 1,2 1,2 2

然后是一个重要概念，待坏项。
以1,2,2,1,1,2为例，找到最后一个后继元，1,2,2,1,1,2；如果这个后继元有多项，那么待坏项是这个后继元去掉最后一项，也就是说，1,2,2,1,1,2，待坏项是“1”。而如果这个后继元只有一项，那么待坏项是这个项减1，如1,2,2,1,2,2，待坏项也是“1”。

找到待坏项之后要干什么呢？在序列中找到与待坏项完全相同的后继元。在1,2 2 1 1,2中，存在这样的后继元，于是，这个后继元的下一项是坏根。

坏根是用来展开极限表达式的。把坏根之前的项记作X，坏根记作b，坏根之后到倒数第二项记作Y，最后一项记作b+d+1，那么整个序列可以表示为X,b,Y,b+d+1[n]，它会展开为X,b,Y,b+d,Y+d,b+2d,Y+2d,...,b+nd,Y+nd[n]，其中Y+m表示Y中的每一项都加上m。

回到1,2,2,1,1,2，X=1,2,2,1，b=1，Y=(什么都没有)，d=0，于是1,2,2,1,1,2展开为1,2,2,1,1,1,1,1,1,...（不写[n]一般表示n趋于无穷大）。

一个类似的例子是1,2,2,1,1,2,2，它等于1,2,2,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...，还请读者自己思考一下这是为什么。

除了找待坏项之外，还有一种方式会用来展开序列。

现在来看1,2,2,1,2,1,2,2。1,2 2 1,2 1,2 2，末项的待坏项是1，但是序列中找不到1。一般情况下，遇到这种情况，会默认首项是坏根，但如果就视坏根是首项的话，序列将陷入循环，展开永远不会停止：1,2,2,1,2,1,2,2→1,2,2,1,2,1,2,1,2,2→1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,2→...

现在要用另一种展开方式了：在末项的前面，如果有两个相同的后继元紧挨在一起，它们的首项是整个序列的末项减1，那么坏根是其中第二个后继元的首项。

在1,2 2 1,2 1,2 2中，有两个1,2满足这个条件，所以倒数第三项是坏根，于是1,2,2,1,2,1,2,2展开为1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...。

同样给一个类似的例子：1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2=1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...

实际上，这里的两个紧挨在一起的可以不只是一个后继元，可以是多个，但仍然要完全相同：1,2 2 2 2 1,2 2 1,2 2 2 2=1,2,2,2,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,...

找待坏项这种展开方式称为“待坏展开”，而后面这个找两个相同后继元的展开方式称为“等差展开”。在准备展开一个表达式时，“等差展开”是优先于“待坏展开”的。

在待坏展开中，还有一种特殊情况，在找不到待坏项时，规定坏根是首项。这种例子很常见，1,2,2，1,2,2,1,2，1,2,2,2,1,2,2,1,2，等等。

    根据规则，1,1,1,1,...,1,1，a个1，表示序数a
    1,2=1,1,1,1,1,1,...= $%CF%89$
1,2,1,1,2=1,2,1,1,1,1,1,1,1,...= $%CF%892$
1,2,1,1,2,1,1,2=1,2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,...= $%CF%893$
1,2,1,2=1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,...= $%CF%89%5E%7B2%7D$
1,2,1,2,1,1,2=1,2,1,2,1,1,1,1,1,1,1,...= $%CF%89%5E%7B2%7D%2B%CF%89$
1,2,1,2,1,1,2,1,2=1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1 ,...= $%CF%89%5E%7B2%7D2$
  1,2,1,2,1,2=1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,2,1,... = $%CF%89%5E%7B3%7D$
1,2,2=1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...= $%CF%89%5E%7B%CF%89%7D$
    1,2,2,1,1,2,2=1,2,2,1,1,2,1,2,1,2,...= $%CF%89%5E%7B%CF%89%7D2$
1,2,2,1,2=1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,...= $%CF%89%5E%7B%CF%89%2B1%7D$
1,2,2,1,2,1,2=1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1, ...= $%CF%89%5E%7B%CF%89%2B2%7D$
    1,2,2,1,2,1,2,2=1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...= $%CF%89%5E%7B%CF%892%7D$
    1,2,2,1,2,2=1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,...= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B2%7D%7D$
    1,2,2,1,2,2,1,2,1,2,2,1,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B2%7D2%7D$
    1,2,2,1,2,2,1,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B3%7D%7D$
    1,2,2,2=1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%7D%7D$
    1,2,2,2,1,1,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%7D%7D2$
    1,2,2,2,1,2,1,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%7D2%7D$
    1,2,2,2,1,2,2,1,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%892%7D%7D$
    1,2,2,2,1,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B2%7D%7D%7D$
    1,2,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%7D%7D%7D$

显然，1,2,2,2,2,...的极限，1,2,2,2,3，等于 $%5Cvarepsilon_%7B0%7D$

3：1,2,2,3，等于Γ₀

在1,2,2,2,3到1,2,2,3之间，并没有新增什么规则，按照前面的规则就可以推出1,2,2,3是Γ₀。

先来回顾一下1,2,2,2,3之前的东西。

1,2,2,2,2,2,...,2，这个1后面有很多2，暂且记作1,{2}吧，它对应了 $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%7D$ 。

通过刚才的比对可以发现，1,{2},1,1,{2}，对应的序数正好是1,{2}对应的序数乘2。然后是1,{2},1,1,{2},1,1,{2},1,...的极限1,{2},1,2，是 $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%7D%C3%97%CF%89$ = $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%2B1%7D$ ；1,{2},1,2,1,2=1,{2},1,2,1,1,{2},1,2,1,1,{2},1,2,1,...则为 $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%2B2%7D$ 。

接下来并不是1,{2},1,2,2，而是1,{2},1,2,1,2,2=1,{2},1,2,1,2,1,2,1,2,...为 $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%2B%CF%89%7D$ ，后面还有1,{2},1,2,1,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%2B%CF%89%5E%7B%CF%89%7D%7D$ ，直到1,{2},1,2,1,{2}= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D2%7D$ 。

上面的例子分别是用后继元“1”和后继元“1,2”来分隔两个较大的后继元。可以发现，后继元“1”的作用和加法类似，将两边的后继元加起来，比如说1,{2},1,1,2,2是 $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B.%C2%B7%5E%7B.%CF%89%7D%7D%7D%7D%2B%CF%89%5E%7B%CF%89%7D$ ；而后继元“1,2”也比较类似，是在一层ω指数塔上做加法运算。

后面的“1,2,2”等后继元也是类似的，有几个2就是在几层的ω指数塔上做加法运算。现在可以继续往后走了。

    1,2,2,2,3=1,2,2,2,2,2,2,2,...= $%5Cvarepsilon_%7B0%7D$
    1,2,2,2,3,1,2=1,2,2,2,3,1,1,2,2,2,3,1,1,2,2,2,3,...= $%CE%B5_%7B0%7D%CF%89%3D%CF%89%5E%7B%CE%B5_%7B0%7D%2B1%7D$
1,2,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3=1,2,2,2,3,1,2,1,2,2,2,2,2,2,2,...= $%CF%89%5E%7B%CE%B5_%7B0%7D2%7D$
    1,2,2,2,3,1,2,2= $%CF%89%5E%7B%CE%B5_%7B0%7D%CF%89%7D%3D%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CE%B5_%7B0%7D%2B1%7D%7D$
    1,2,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CF%89%5E%7B%CE%B5_%7B0%7D%2B1%7D%7D%7D$

这样下来，1,2,2,2,3,1,2,2,2,3就是给 $%CE%B5_%7B0%7D$ 嵌套了ω层指数塔，也就是 $%CE%B5_%7B1%7D$ 。后面的嵌套都是类似的：
    1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%89%5E%7B%CE%B5_%7B1%7D2%7D$
    1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3= $%CE%B5_%7B2%7D$
    1,2,2,2,3,2= $%CE%B5_%7B%CF%89%7D$
    1,2,2,2,3,2,1,2,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CF%89%2B1%7D$
    1,2,2,2,3,2,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,2= $%CE%B5_%7B%CF%892%7D$
    1,2,2,2,3,2,1,2,2,2,3,2= $%CE%B5_%7B%CF%89%5E2%7D$
    1,2,2,2,3,2,2= $%CE%B5_%7B%CF%89%5E%CF%89%7D$

可以看到，在1,2,2,2,3之后，再接上一些后继元“2”，表示给 $%CE%B5$ 的下标加上对应的1,2,2,...的数值（对比1,2,2,2,3,2和1,2；以及1,2,2,2,3,2,2和1,2,2）。所以，在1,2,2,2,3后面有ω个2时，它就来到了 $%CE%B5_%7B%CE%B5_0%7D$

1,2,2,2,3,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B5_0%7D$
1,2,2,2,3,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B5_02%7D$
1,2,2,2,3,2,2,3,1,2,2,2,3,2= $%CE%B5_%7B%CF%89%5E%7B%CE%B5_0%2B1%7D%7D$
    1,2,2,2,3,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B5_1%7D$
    1,2,2,2,3,2,2,3,2= $%CE%B5_%7B%CE%B5_%CF%89%7D$
    1,2,2,2,3,2,2,3,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B5_%7B%CE%B5_0%7D%7D$
    1,2,2,2,3,2,3=1,2,2,2,3,2,2,3,2,2,3,2,2,3,2,...= $%7B%CE%B6_0%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B6_0%2B1%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B6_02%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%B5_%7B%CE%B6_0%2B1%7D%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,1,2,2,2,3,2,3= $%7B%CE%B6_1%7D$

$%7B%CE%B6_0%7D$ 后面的结构依然是类似的，并没有哪里出现了减弱。

    1,2,2,2,3,2,3,2= $%7B%CE%B6_%CF%89%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,2,2,3= $%7B%CE%B6_%7B%CE%B5_0%7D%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,2,3= $%7B%CE%B6_%7B%CE%B5_%7B%CE%B5_0%7D%7D%7D$
1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3= $%7B%CE%B6_%7B%CE%B6_0%7D%7D$
    1,2,2,2,3,2,3,2,3= $%7B%CE%B7_0%7D$

在1,2,2之后，后面有x个2,3就表示序数φ(x,0)；然而，后面强度突然发生了减弱，但这是为进一步提升而做的准备。

    1,2,2,2,3,3=1,2,2,2,3,2,3,2,3,2,3,...= $%CF%86(%CF%89%2C0)$
    1,2,2,2,3,3,3=1,2,2,2,3,3,2,3,3,2,3,3,...= $%CF%86(%CF%89%5E%CF%89%2C0)$
    1,2,2,2,3,3,3,4=1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,...= $%CF%86(%CE%B5_0%2C0)$

    在二元φ里面，后继元“3”的作用变成了以前“2”的作用，因此
    1,2,2,2,3,3,3,4,3,4= $%CF%86(%CE%B6_0%2C0)$
    1,2,2,2,3,3,3,4,4= $%CF%86(%CF%86(%CF%89%2C0)%2C0)$
    1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5= $%CF%86(%CF%86(%CF%86(%CF%89%2C0)%2C0)%2C0)$