Part 1 一个基本的示例

如图所示，链写法如下：

它的逻辑大致是这样的：设r7c2(1)为假，则得到r7c6(8)为假时分两种情况讨论，一个是r7c6 = 2，另外一个则是r7c6 = 5。但不管r7c6是数字2还是5，都能得到r5c8(1)为假，于是又可以得到r5c2(1)为真、r7c2(1)为假。这样就首尾拼接成环了。

可是稍微奇怪的是，r7c6分了两种情况讨论，也就是这里产生了分支，那么，这个环的删数仍然还是所有弱关系对应位置吗？

想一下逻辑，如果把逻辑抽象出来，就是下面这个样子：

首先，大体下，F-A部分是可以删除的，不过B-C和D-E两处是两种不同的情况，它们是“或”的关系（注意“或”的关系是指两个部分至少有一个为真，而不是有且仅有一个为真），所以我们无法判断到底B-C还是D-E是一直都可以的，也就不能找到分支条件下的删数。所以总体来看，删数只有F-A。

对于图上来说，只有r5c2(1)-r7c2(1)和r7c2(8)-r7c6(8)两处弱关系可以删数。

这个结构称为动态标准环（简称动态环，Dynamic Continuous (Nice) Loop）。有时候也将这种带有两部分子环形式的结构称为双环（Double Loop）。

我们再给出一个示例，请自行推理其推进过程。

这个链的删数特别奇怪，所以请注意实际的推导过程。这个环的理解比较难，希望你能慢慢地、细致地注意到每一个细节。

Part 2 原理进一步剖析

2-1 #1：动态环的删数是否有定式？

动态环的删数实际上在前面已经说了，所以我们可以在这里直接总结出来了。所以答案肯定是有删数的定式的。而且还比较明显。如果是读者你的话，不用看这一节的问题，自己思考一段时间，我想你也可以想到它——所有主干上的弱关系的区域都可以删数，而分支上的弱关系不可以。

可以从例子里看到，分支之间是或的关系，所以显然不可以删数，我们无法断言出删数一定能产生在分支上。所以不可以。主干上的弱关系有时候会很多，但有时候会少得可怜，看看上面的例子你就明白我在说什么了。

2-2 #2：英文名里的Nice有没有很重要吗？

是的。在Nice的原文描述里提到，“当且仅当环内的每一个弱关系都可以删数时，称为Nice Loop；否则称为Loop”。换句话说，如果我们现在有一个环，不论动态环还是标准环，如果环的每一个弱关系都可以实现删数（即使它在这个题目里找不到删数，但理论上可以删的话），就称为这个环是Nice的；否则就不能使用Nice。

可以看到，任意一个标准环都一定是Nice的，因为标准环的特征就是每一个弱关系都可以视为强关系，所以它们所在的区域上一定会出现一个节点包含需要填的数字，所以每个弱关系的对应区域都一定是可以删的；而动态环不同，由于动态环具有分支，所以分支上的弱关系我们并不能保证是否可以删除，所以动态环里不一定所有的环都能加上Nice一词。实际上，大多数动态环都无法实现全部弱关系都可以删除，只有很少一部分可以实现，所以大部分的动态环都不带Nice一词，即Dynamic Continuous Loop；而少部分动态环才称为Dynamic Continuous Nice Loop。所以前面给出的示例是不能加Nice的，因为它还有分支上的弱关系不能删数。

Part 3 嵌套结构的动态环

说完了基本的动态环的删数原则，我们来看一些嵌套结构的动态环结构。

3-1 动态环

如图所示，这个链内嵌入了毛刺隐性数对结构。链的写法如下：

这个题的推导和刚才的动态环差不多。删数也是找总体下的弱关系。总体下的弱关系有r9c1(1-7)、{r4c7, r5c8}(27)-r4c7(1)、r4c5(1)-r9c5(1)这三个。那么删数也就在这里面去找。需要提到的地方就是这里的r4c7和r5c8的2、7隐性数对的删数了。我们之前说到的是，删数是看两端都能删的地方，虽然这个2、7隐性数对确实可以删r5c8(8)，但是r4c7(1)为什么也能保证r5c8(8)可以删呢？因为此时r4c7(1)和r5c8(8)都是弱关系。如果r4c7(1)和r5c8(8)同真时，b6内数字2没有位置可填。所以r4c7(1)和r5c8(8)确实是弱关系，也就确实是可以删的。

这个题目带有一个ALS，所以称为嵌套ALS的动态环（Dynamic Grouped Continuous (Nice) Loop With ALS）。同样，此题不加Nice。

我们再来看一个动态环。

3-2 Nice的动态环

获取你注意到了，前后两个示例的标题大致一样，就是英文名里，一个有nice，一个没有。下面我们来尝试理解一下它。

如图所示。这个动态环比较复杂。我们先从r2c2(2)开始设为假进行推理。

如果r2c2(2)为假，而此时r2c28是一个ALS区域，所以r2c8(3)必须此时为真才行。那么此时，由于r2c8 = 3的缘故，r2c5和r2c9都不能是3，所以此时r2c5(3)和r2c9(3)是同时为假的。我们先尝试走左边。

假设r2c5(3)为假，则r23c6(3)区块为真（当然，这里一般是当得到r2c8(3)为真后，r2c56(3)同为假，于是r3c6(3)为真，也可以这么理解），r5c6(3)为假，r5c1(3)为真，r6c2(3)为假；而假设r2c9(3)为假，则r2c9(7)为真，r4c9(7)为假，r6c7(7)为真，r6c2(7)为假。

此时可以发现，由于刚才假设的情况的成立，我们先得到了r2c8(3)为真的结果，并同时得到了两个分支的走向。可是神奇的地方在于，两个分支竟然最终汇聚到了同一个单元格：r6c2。

由于是两个分支的推导同时通过一个结论得到，所以两个不同分支得到的结论就应当是同时成立的，即这里的r6c2(3)为假和r6c2(7)为假此时必须是同时成立的，所以，r6c2此时只能放入2，故r6c2(2)此时为真，于是r2c2(2)为假，环便出现了。

那么，可以发现到的是，主线肯定是r6c2-r2c2(2)=r2c8(3)这一部分，但剩下的部分，都在分支上。按照原本的推导思路，主线上的所有弱关系是可以删除的，并且由于ALS区域处于主线上，所以ALS的额外删数：r2的其余位置的5也可以删除掉。不过，这个例子里我们可以删除太多其它的删数了，这些又是为什么呢？试想一下，这个结构带有两个不同的分支，但这两个不同的分支的特殊之处在于，它们以同一个节点延伸出去，这意味着两个分支应该是同时成立的，这一点我已经在前文里说过了。而在环结构的结论里，我们知道，环结构的内部填数只可以有两种情况；而在动态链里，分支里可能有不同的情况，所以不一定只有两种。但仔细观察这个示例就可以发现，这个分支是同时成立的，所以要么分支1成立，要么分支2成立。我们不必注意分支内部的填数模式，这两种情况我们便可直接作为整体动态环的两种不同的填数模式。

而环只有两种填数模式，且弱关系都可以删除，所以我们可以认为，这两个分支上面的所有弱关系都可以作为删除项，故两个分支的弱关系完全都可以作为这里所说的删除项而删掉。

可以看到，这个示例里，所有的弱关系全部都可以被删除，所以我们应为这个结构的技巧名加上nice一词，即动态的（dynamic）、嵌套结构的（grouped）、连续的（continuous）、删数完整的（nice）环结构（loop）。

Part 4 最后来个小练习？

之前我们已经给出了三道鱼图题目了，这里再来一道题。请找出所有不能填入的位置（可以删除的位置）。

答案