挺有用的常微分方程（三）
通过前两篇专栏的介绍，我们已经基本了解了有关常微分方程的基本概念与一阶微分方程的初等解法。这些基本内容将成为我们日后解决常微分方程问题的基本依据。
但是，我们的讨论却只是集中于一阶微分方程来讨论的。对于高阶方程，我们并没有什么好的讨论方法。因为一般而言，高阶微分方程的情况更为复杂，很多直接积分的想法都很难实现。所以我们就需要另辟蹊径，去寻求其他的方法。并且，我们也只能针对一些具有特殊性质的高阶微分方程来讨论。
比如，线性微分方程。
——这里是写完了几节高等代数之后跑过来更新常微分方程的鱼，我只想说，还是分析简单（くるしいね…）。
Chapter Three 常系数线性方程
3.1 常系数其次线性方程（单根情形）
我们已经提到过，所谓线性常微分方程，就是具有如下形式：
（在专栏（一）当中的线性微分方程的表达式写错了……以这里的为准~）
的常微分方程。如果有：
为常数，则称此时的线性微分方程为常系数线性微分方程。我们已经介绍过一阶常系数线性微分方程的初等积分法解法，即公式法与常数变易法。那么，对于高阶常系数线性微分方程，我们又有怎样的解法呢？
为了便于讨论，我们引入一种概念——算子（或者叫算符）。所谓算子，实际上就是对函数的一种作用方式，可以理解为是原像集为函数集合的映射关系（对应法则）。最为基本的，用一个常数去乘一个函数，得到了一个新的函数，我们就可以乘这个常数提供了一个数乘算子，其作用结果就是使得函数乘了一个给定常数。
在微分方程当中，应用得最多的，就是微分算子。即：
（x是自变量，字母可以随便取。）
按照定义，应该有：
于是，线性微分方程就可以写作：
于是，对高阶线性微分方程的研究，就可以转变为对线性微分算子的多项式的研究。即研究：
我们先从简单的情况研究起，考虑齐次常系数线性微分方程：
的解的情况。
考虑到一阶线性微分方程的解的形式，我们猜测对于高阶的线性微分方程也有类似的结构，即：
当方程为齐次方程时，就有。
我们先来研究，齐次线性微分算子作用在指数函数上有什么样的效果。对于指数函数：
而言，直接作用，我们就得到：
也就是说，对于指数函数而言，线性微分算子作用在其上的结果，相当于用微分算子所对应的多项式代入
后得到的数值结果直接与函数本身相乘。
于是，我们利用这一结果，作用到我们猜测的解上，就得到：
如果这真是该微分方程的解，那么显然应该有：
我们立马可以想到，最好的解决办法就是令：
也就是去寻找方程：
的根。
我们称与齐次微分方程相对应的多项式为该微分方程的特征多项式，上述多项式方程的解称为该微分方程的特征根（或者称为特征值）。此时，我们知道，函数：
确为该微分方程的解。同时，每个函数：
都是该微分方程的解。
注意到我们并没有限制系数的数域，所以它们最大可以属于复数域，因此特征根也可以属于复数域。
那我们接下来的想法就是去研究，这样形式的解是否涵盖了齐次线性方程组的解的全部形式。换句话说，就是对于任何齐次线性方程组而言，是否我们得到的解都可以写作上述形式。
我们先讨论简单的情形，即所有特征根都是单根的方程。即要说明，如果一个微分方程的特征根都是单根，那么它的解一定具有上述形式。
在此意义下，我们可以理解为，上述表达形式是该类齐次线性微分方程的通解。既然是通解，那就表示任何特解都是被包含在内的（如果将特解实际上看做是方程的解的集合的一种表达形式的话）；同时，另一方面，通解本身应该是由所有的特解所构成的。因此，我们只要考虑对于任意给定条件的特解，是否能够被表达成这一形式即可。
我们知道，方程的解唯一地决定于该方程的初值条件。也就是说，在一定的初值条件下，我们求出来的其实是方程的某一个特解。那么，不同的初值条件对应的就是不同的特解。而对于任何一个特解而言，我们都能够给出足够个数的值对（自变量—函数值数对），作为从方程中定向解出该特解的初值条件。在这个意义上，我们说方程的解被初值条件完全确定，任何一个解都是由从初值条件到解集的一个通过微分方程所达成的映射关系的像。
此时，我们就只要研究某种类型的初值条件即可，因为任何特解都能取出这样类型的值对出来。
我们现在设方程的某个特解为，那么，最为简单的初值条件，即为：
我们如果想要让该特解转变为我们想要的形式，就是要让其满足：
最后的等式是个线性方程组，其系数矩阵为：
这是个Vandermonde矩阵，我们知道它的行列式结果为何。（在高等代数部分的专栏（四）的思考部分，。）
所谓单根，即是说：
这就是说，此时Vandermonde行列式不为零。根据我们在高等代数部分对线性方程组的研究，我们知道，此时方程组有且仅有唯一解。于是，我们可以解出一组作为组合系数，使得特解变为我们所提出的形式。又由于解函数任取，所以任何特解都可以被表示成为已有形式。这说明此时该形式确实为此微分方程的通解。
我们都知道，代数基本定理告诉我们，任何一个n次多项式都能够在复数域内被分解为n个单项式的乘积，即n次代数方程在复数域内一定有n个解。但是，在实数域内，我们最多只能做到将其分解为一次多项式与不可分解的二次多项式的共同乘积。这就表明，按照这种方法所得出的微分方程的解，不可避免地要面对复值解的存在。但是，如果就实际情况而言，我们不希望出现复值解，那么我们希望寻求一种方法，将复值解转化为我们所需要的实值解。（此时，虽然可解决的问题的范围会变窄，但是利用实值解研究问题应该要比利用复值解研究问题要便利许多。）
记由复数作为分量的n维向量为：
其共轭向量为：
我们很容易能够证明：
记线性方程组的解向量为：
又令：
则微分方程的特解可以表示成为：
根据代数基本定理，我们知道，将n次代数多项式在实数域上分解以后，代数方程实际上就被分解为多个实一次代数方程以及不可分解的实二次方程。对于一次方程而言，根一定是实的；而对于不可分解的二次方程而言，我们将其在复数域上分解，得到：
设二次方程为：
两个复根分别为，则有：
于是我们得到：
所以在向量中，所有属于该微分方程的复值解一定是成对出现的。每对复值解彼此共轭。于是，向量
也是该微分方程的解向量（由各个解分支作为分量所构成的向量）。又由于向量
是一个实向量，同时各分量都是微分方程的解，于是这就给我们提供了一个思路，即通过对这两个向量做以线性组合，使得它们组合成实解向量。
不难猜测，我们分别对解向量与系数向量做这样的组合处理，得到的：
可能是一个合理的解。
我们只要分别证明这四个部分都是原微分方程的解，那么命题也就得证了。
不难看出，这四个部分存在两两一对的共轭关系，所以我们只要证明：
（1）如果一个表达形式是微分方程的解，那么它的共轭也是该微分方程的解；
（2）这两对中各自有一个是该微分方程的解。
现在，我们已经知道第一部分是微分方程的解，所以我们只要证明第二部分是微分方程的解，以及解的共轭也是解即可。
由于：
以及：
（因为）
于是这四个部分都是该微分方程的解。我们能够证明，对于常系数线性微分方程而言，任意两个解之间的加减仍旧是这个微分方程的解。（命题1）所以，我们猜测的结果是正确的。
这样，我们就通过线性组合的方式，将原本的复值解组合了起来，得到了实值解。又因为对于任意复值解，这样的构造法都是成立的，于是我们可以将任意的复值解组合成实值解。
同时，注意到第（1）点，于是：
也是方程的实值解。
这样的组合思想在量子力学的某些处理当中有所体现。比如氢原子体系的波函数的表示法，就有实波函数和复波函数两种。实波函数就是两个复波函数的组合结果。它能表明的信息虽然比原本的复波函数少，但是形式简单，使用便捷，利于直接应用，也有一些记忆点，所以应用得反而更为广泛。
我们上述的讨论，全部总结出来，可以得到以下几点：
（1）常系数线性微分方程的通解的形式与求法是已知的；
（2）微分方程的任意复数特征根都是成对出现的；
（3）复值解的实部和虚部都是微分方程的解；（命题2）
（4）复值解可以通过一定的流程实化；
（5）实化后的复值解的信息变少了，但是应用范围可能变广。
研究过复值解的实化问题之后，我们最后提出一个问题——什么时候解出来的解一定是实的？
这个问题留给大家作为思考~
思考：
证明命题1；
证明命题2；
解微分方程：
（1）
（2）
（3）
试探究方程的解为实值解时的充分必要条件。
最後の最後に、ありがとうございました！
