多元函数在某点分析是否连续？偏导是否存在？偏导是否连续？是否可微？分析思路

一、理论基础

假如分析(0,0)点

（1）判断是否连续

只需要分析lim(x→0，y→0)f(x,y)是否等于f(0,0)

（2）判断偏导是否存在

只需要分析fx(0,0)=lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x是否存在。故在题中原极限式令y=0加以分析。分析fy(0,0)同理，在原式中令x=0。

（3）判断偏导是否连续

求fx(x,y)和fy(x,y)，判断lim(x→0,y→0)fx(x,y)是否等于fx(0,0)，lim(x→0,y→0)fy(x,y)是否等于fy(0,0)）

（4）判断是否可微

①如果两个偏导数不存在，则不可微；任意一个偏导数不存在即可推不可微。

②如果偏导连续，则可微；如果偏导不连续，不能推出不可微。

③如果lim(x→0,y→0)[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√(x²+y²)=0，根据可微定义的极限形式可知此时可微，其中A=fx(0,0)，B=fy(0,0)。显然满足f(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(√(x²+y²))

二、具体事例

1、

（1）是否连续

x²+y²为无穷小，sin[1/√(x²+y²)]有界，故lim(x→0,y→0)f(x,y)=0=f(0,0)。

所以，连续。

（2）偏导是否存在

同理，fy(0,0)=0，也存在。

所以，两个偏导数都存在。

（3）偏导是否连续

所以，两个偏导都不连续。

（4）是否可微

所以，可微。

上述是一个典型的偏导不连续但可微的例子。