戏说集合（1）

第一次在高中数学课上看到"集合"这个词,我却迅速想起上学时的体育课上,老师在整理队伍时会喊:"同学们,集合啦!"这里的"集合"自然是一个动词,那现在数学课本上的"集合"还有没有原来的意义呢?

   我们来看课本上给出的"集合"的定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.看来数学中的"集合"这个概念并没有完全失去当初作动词时的意义,而是在此基础上作了进一步的引申,拓宽,充实,使之内涵更丰富多彩,涉及面更广泛,这一点在定义中也很明显,如"某些指定的对象",究竟是哪些对象?这是学习此概念首先会想到的问题.其实,早在初中数学中,我们就已经接触过"集合"一词,在初中代数中学习数的分类时,就用到"正数的集合""负数的集合"等,此外,对于一元一次不等式2x-1>3,所有大于2的实数都是它的解,我们也可以说,这些数组成了这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.而所有的几何图形都可以看成点的集合.由此可见,如果把集合比做一个人,那他肯定是一个如鱼得水左右逢源的人,人缘极佳,因为我们到处都可以瞧见他的身影!

    的确,集合是现代数学的基本概念,自德国数学家康托(Cantor,G.F.P,1845年~1918年)创立集合论以来,集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域.从我们课本上的相关内容也能体会到这一点.从"我校篮球队的队员"到"太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋""世界上最高的山峰""组成中国国旗图案的颜色",再到自然数的全体,实数的全体,满足某些条件的点,等等,这些具体的或抽象的对象遍布天南海北,天涯海角,从宏观到微观,大到宇宙天体,小到光电微粒,从看得见的到看不见的,从想得到的到想不到的,由远及近,由此及彼,由表及里,纵横几万里,上下几千年.你会发现"集合"似乎像科幻影视剧中无所不能的超人,可以穿越宇宙,让时光倒流,凡是你能想到的东西,无一不与集合有关联.可见"集合"的兼容性特别强,无论古今中外,上下左右,都似乎可以与集合有联系.

   集合作为一个重要的数学概念,必然要用符号语言来表述,因为数学本身就具有抽象概括简洁的特点,所以我们常用答谢的拉丁字母来代表集合,这就好象我们每个人都有区别与他人的姓名一样,相应地,用小写的拉丁字母来表示集合中的元素,并且我们要把这些元素写在大括号里来表示其组成的集合,如A={a,b,c},为了今后学习的方便,我们还给一些常用的数集规定了名字:自然数集记为N,正整数集记为N*,整数集记为Z,有理数集记为Q,实数集记为R,而且这些大写字母通常不宜挪作他用,一定要用,就要具体说明,否则可能会产生歧义,造成不必要的麻烦.

   至此,我们看到集合如此神通广大,涵盖众多对象,看来集合就像是一个神奇的宝葫芦,从外面是看不清楚它的真正面目的,既然这样,对于一个具体的集合,我们就关键要看它的"元素"了,而且任何一个元素必然有它的归属,它是不是给定集合的元素是明明白白的,这就是集合元素的第一个重要特征:确定性,这体现了数学概念的严谨严密,给定一个元素属于某个集合,它昨天是,今天是,明天还是,不会随着时间的推移而有所改变;而且这是一个客观存在,不会因为某个人的主观意志而发生变化,不论你看到还是没有看到,认识到还是没有认识到.集合中元素的第二个重要特征是:互异性,就是集合中任何一个对象只能出现一次,不允许重复,再者,凡是想成为某一个集合中的元素,集合将会公平对待,没有先后主次之分,这就是集合元素的第三个特征:无序性.这三个特征当中,考题都会有所表现,互异性的考查会多一些,如数集{a-3,2a-1}中的a所满足的条件为(  ).在志鸿优化设计的学生用书中有不少这类题目,请予参考.

  对于一个集合,既然最重要的是它的元素,那么根据它们所包含的元素个数的多少,就有了有限集与无限集之分,而有限集之中,若其元素个数较少,能够一一列举出来,就可以用所谓的列举法来表示,元素之间变化规律明显的无限集也是可以用列举法来表示的,如自然数集N={1,2,3,4,…},正偶数集可以表示为{2,4,6,…};对于大多数用列举法不容易表示的集合来说,我们通常用描述法来表示,就是在大括号里选择出一个代表元素,画一条竖线,在写清楚这个集合中所有元素的公共属性,即形如A={x|P(x)},前面提到的不等式2x-1>3的解集就可以写成{x|2x-1>3}={x|x>2}.当然也有一些集合,因为对象很明显,我们也会省略代表元素和竖线,如{直角三角形},{平方等于1的数}.为了形象地表示集合,我们常常也回画一条封闭的曲线,用它的内部表示集合,这种形象直观的方法就是韦恩图法,今后在某些集合类题目的解答中大家能体会到这种方法的优越之处.如果换一个角度,按照集合中元素的种类来看,集合又回分为数集,点集,图形集,以及其他类的集合等等,前面的三类集合也是我们在数学课的学习中经常会遇到的,我们需要准确掌握这些集合的规范的表示方法.

   总之,集合如同一个容器,关键的不是它的外表多么华丽诱人,多么色彩鲜艳,而是它所包含的元素究竟是什么,看清楚了其元素,也就认清了集合的本质所在,这就是我们所谓的"元素分析法",是研究与集合有关的问题必须把握的原则,而且在实践当中要特别注意区分各个集合的元素与元素之间的细微差异,否则,差之毫厘,谬以千里,这就需要我们炼就一双明察秋毫,洞察一切的慧眼,把这些个集合看得请清楚楚,明明白白,真真切切.

(2006-09-22 11:18:43)[