伯努利数（2）——一些应用
伯努利数第一期：自然数的等幂和——伯努利数
如上一期结尾所说，第二类伯努利数比原始的伯努利数应用更多，而上一期是由原始伯努利数得到的一系列结论，这里有必要用第二类伯努利数改良一下：
为了区别，就暂时先用表示原始的伯努利数吧
正切函数的Maclaurin级数
我们在微积分中已经知道了一些函数的Maclaurin级数展开，
这些都是在零点处的n阶导数的规律比较好找到的函数，但是正切函数和余切函数的规律就没有这么容易找到了，但是我们还是有办法将它展开成幂级数
根据伯努利数的生成函数定义：
把第一项拎出来，则后面所有的奇数项都等于0了，即
等式右边又可以化为：
代入回上式就能得到双曲余切函数的Lauaent级数展开：
又有，则
又得到了余切函数的Lauaent级数展开
再根据以下：
于是，
再将它美化一下：
Zeta函数的偶数处值
根据上一期Weierstrass分解定理得到的等式：
以及：
可得：
而刚好右边是个整函数，根据上一期的定理可得这个等式是成立的
用替换
：
取对数导数：
这里假定，将蓝色部分展开为幂级数
而根据前面的一期专栏又有
于是：
至此，就可以利用伯努利数来解决更广义的Basel问题了：
伯努利多项式
前面我们已经得到了
其中，右边括号则为二项式系数，
不妨再将其化简，
根据Newton-Leibniz formula（牛顿-莱布尼兹公式），得到
用来表示红色部分，就能得到一个比较方便的式子
利用导数的性质，有
上一期中我们得到了的母函数为
取导数，
用-t替换t，有
红色部分就是第二类伯努利数，再用-x替换x，得到
用表示绿色部分，这才是耳熟能详的伯努利多项式
可以得到以下性质：
1,2两个可以由生成函数直接得到，3可以在2中用-x替换x得到，4在3中代入x=0就可以得到，5则可以由4直接推出
微分性质
对伯努利多项式求导，得到
利用该性质，可得
于是，就可以再次美化一下等幂和公式，对k≠0
差分性质
为了方便计算伯努利多项式的差分，不妨利用生成函数
将右式展为Maclaurin级数，
对比系数，就可以得到
这样我们就又可以通过伯努利多项式的差分性质来得到等幂和公式，
Euler-Maclaurin求和公式
伯努利多项式的微分性质可以用来导出Euler-Maclaurin求和公式：
可以计算得到
对两边微分，则
设是在[0,1]上N阶可导的函数
对它在[0,1]上积分，有
用分部积分法可得：
根据微分性质，对整数k≥0，有
代入到蓝色部分，得到
于是我们又可以对后面的积分用分部积分法
不难注意到又能将绿色部分用微分性质，
重复上述操作N次，可得
当n≥1时，
代回到上式中，
不知道看到这里的人眼睛还好吗（#￣▽￣#）
令，则有
这样就得到了[t,t+1]区间上的伯努利数加积分的表达式，用同样的方法也可以在其他这样的区间上得到上面这种表达式
设a，b都是整数，对t从a加到b-1，
而其余的部分可以根据差分求和规则和积分区间的可加性化简，得到
最后移项，就能得到大名鼎鼎的Euler-Maclaurin求和公式：
若无穷阶可导，令
，后面那个积分就趋于零，于是可以把它抬走，而在大于1的奇数上的伯努利数恒为零，就有
总结
这一期我们得到了以下结论
正切函数的Maclaurin级数：
zeta函数在偶数上的值：
Euler-Maclaurin求和公式：
以上就是本期专栏的全部内容了，掰掰
