2023数分Day75-77(含参量反常积分1-3：积分号下积分法.积分号下微分法.一致收敛应用)

一、Day75-Day77含参量反常积分必备定理归总：

1、课本Ch19.2含参量反常积分定理【含自己整理的3个常用判别法A-D-M+反常积分（瑕积分、无穷积分）的比较原则及推论3】

2、Dirichlet积分+Poisson积分（及推广的Poisson积分）

3、华东师大2022-2023含参量反常积分真题研究

二、Day75-Day77三天具体真题

Day75(含参量反常积分1：积分号下积分法）

（一）需要复习的

1、复习有理函数不定积分求解过程【数分上P185-188】

【题2有涉及裂项等过程，注意裂项操作，有时候求解级数也会使用到,下面举中山大学例子，通过这个例子可以学习裂项+调和级数+Stolz公式】

注：这里还用到Stolz公式，需要复习掌握

2、①（sinbx-sinax）/x*e^(-px)在[0,+∞）的反常积分=arctanb/p-arctana/p;【题1】

②（cosbx-cosax）/x*e^(-px)在[0,+∞）的反常积分=1/2*ln[(p^2+a^2)/(p^2+b^2)];【题3】

3、定理19.12可积性【具体见本专栏开头】

（二）具体题目

1【山东大学】

①先观察被积函数，必须先写成定积分形式才能往下做;

②于是可以将上述积分改写成累次积分;

③继续分析被积函数，注意要用到一个关于指数函数的公式；利用一下M判别法，因为大的收敛，所以关于参数y一致收敛；

④利用到定理19.12(可积性），因为被积函数连续+这个积分一致收敛，可以得到他们能交换积分顺序，然后求解即可，要用到一个关于指数函数的公式。

2【河海大学】

①问：

先观察被积函数，然后利用M判别法，由于这个上界的积分是收敛的，所以积分关于参量y一致收敛；

②问：

（1）①问其实是一个铺垫，所以arctanαx/x的原函数是1/(x^2+y^2）,这个形式就是①问的一部分；

（2）再写成累次积分；

（3）分析被积函数，然后利用一下放缩，把参量y约掉，然后由于1/(1+x^2)积分收敛，用一下M判别法，所以得到积分关于参量y一致收敛；

（4）想利用定理19.12可积性的交换积分次序，利用积分一致收敛以及被积函数连续，所以可以交换积分。

（5）交换积分次序后然后求解，这个式子需要裂项，裂项的技巧就是常数对应常数，对应好就可以，计算一下，最后算一下积分。

注：可以复习一下有理函数不定积分求解过程

3【北京邮电】

【法一】如果记住原型公式

e^(-px)*(cosbx-cosax)/x在【0，+∞】上的积分结果是1/2*ln(p^2+a^2)/(p^2+b^2);此时p=1,a=2.b=1；计算结果是1/2*ln(5/2).

【法二】如果直接推广的话，按照原型思路走一遍

①先看被积函数写成定积分的形式：(cosbx-cosax)/x=sinxy在【a,b】上积分，y为变量；

②于是可以写成累次积分的形式

③再去分析被积函数，利用一下M判别法，把参数y约掉，三角函数放缩成1，由于e^(-px)在0→+∞上收敛，所以积分关于参量y一致收敛；

④由于被积函数连续

⑤可以利用含参量反常积分的可积性（定理19.12）得到积分可以交换顺序，

⑥然后求解积分，千万注意顺序不要弄反了。

只不过把具体a,b,p代入就行。

Day76(含参量反常积分2：积分号下微分法）

（一）需要复习的

1、复习有理函数不定积分求解过程【数分上P185-188】

【题1有涉及裂项等过程，注意裂项操作，有时候求解级数也会使用到】

2、定理19.11可微性【题1，具体见本专栏开头】

3、定理19.10连续性【题2②问有涉及到，具体定理见本专栏开头】

4、反常积分的比较原则推论【题1，具体见本专栏开头】

（二）具体题目

1【兰州大学】

①先观察被积函数，发现关于参量t是奇函数，可以先考虑t≥0情形，而且I(0）=0;

②对于被积函数可以放缩成没有参量t存在的式子，利用M判别法，得出f积分关于参数t(一致)收敛；

③利用f和ft(t是参数，tx对t求导结果是x）连续;

④求出ft，并运用M判别法，把参数t放缩掉，得到ft积分关于参数t一致收敛，注意这里说明M判别法的时候会涉及到反常积分的比较原则推论；

⑤由于②和③和④满足定理19.11的可微性条件，于是可以得到I'（t）=ft上积分【x是变量，t是参数】，注意计算积分过程会涉及两次三角换元，再考虑一次裂项，最后得出表达式再去算。计算有点大。

⑥对⑤求出的I'(t)求一下积分，然后利用一下①得到的I(0)=0，推出C=π/2.

⑦由于I（t）是关于参数t的奇函数，然后考虑一下t<0情况，利用I（t）=-I(-t).

最后综上就可以得到I（t）结果.

2【中南大学；中科大】

①问：

（1）为了方便，先记g(x,y)，发现g连续;然后f(x)为g(x,y)在y∈[0,+∞）上的反常积分；

（2）然后利用M判别法，对这个被积函数放缩，得到g原积分关于参数x一致收敛；

（3）于是利用定理19.10连续性（满足积分一致收敛与被积函数连续），所以积分连续；

②问：

（1）先算gx(x,y)，g关于参数x求偏导，发现gx连续；

（2）运用M-判别法，对gx(x,y)做放缩，得到gx积分一致收敛；

（3）结合②问中（1）gx连续性及（2）gx的一致收敛以及①问中（1）g的连续性及（2）的（一致）收敛，一共4个满足定理19.11的可微性条件得到f可导，而且f'(x)=gx在y∈[0,+∞）上的反常积分

（4）利用②问（1）和（2）得到的gx连续以及gx的反常积分一致收敛，利用定理19.10的连续性得到f'(x)连续；

（5）利用（3）得出可导，利用（4）得到导数连续，这两点共同推出f(x)有连续的导数；

③问：

继续求f(x)，利用②问（3）求出的f'(x)，算反常积分，注意这里x是参数，提到前面不影响！很重要；得到2f'(x)+xf(x)=0,

整理一下得到f'(x)/f(x)=-x/2；然后两边取积分，注意常数取lnC,得到f(x)=C*e^(-1/4*x*2)，再把x=0代入f(x),推出C=根号π/2【得用到题干的Dirichlet积分】；

最后得到f(x)结果.

Day77(含参量反常积分3：一致收敛应用)

（一）需要复习的

1、复习一致收敛的Cauchy准则，注意题1①、题5有个关键一步，【定理19.7，题1①、题5用到，且都用到这个关键一步】

2、反常积分一致收敛的比较原则推论【定理11.2推论3，题1②、题3用到】

3、定理19.10连续性【题1③问、题2、题3有涉及到，具体定理见本专栏开头】

4、复习一致收敛的判别准则【定理19.8，题4用到】（可比较一致收敛的Cauchy准则）

5、A-D判别法【题4用到】

6、定理11.2比较原则（当M-判别法无法使用，即区间左端是开的时候，题5用到）

（二）具体题目

1【重庆大学】

①问：

思路：要证明非一致收敛，结合反证法和Cauchy准则.

（1）反证，先假设F（α）一致收敛，先写出Cauchy准则一致收敛的定义；

（2）特别地，让这个α→0+，得到这个积分≤ε

（3）根据（2）式由于Cauchy准则可以得到积分收敛，矛与这个积分实际情况矛盾。

因此F（α）在（0，+∞）上非一致收敛；

②问：

要证一致收敛，利用一下M判别法，把这个α放缩到α0，对于这个反常积分，运用比较原则推论，取p=2>1，λ=0,所以这个反常积分收敛，因此F（α）在【α0，+∞】一致收敛

③问：

要证明连续性，利用定理19.10（连续性）；

由②问得到的F（α）在【1/2*α0，+∞】一致收敛

+被积函数xe^(-αx)在【0，+∞】✖【1/2*α0，+∞】上连续，

利用定理19.10（连续性）得到F（α）在【1/2*α0，+∞】上连续；

特别地在α0上连续；

再结合α0任意性，推出F（α）在（0,+∞）上连续.

2【西北大学；武汉理工；华中师范】

①问：

思路：要证明不一致收敛，利用Cauchy准则和反证法；

取ε0,最后取；取一个x=1/n∈（0，+∞），利用Cauchy准则，知道其不一致收敛；

②问：

思路：若①一致收敛，那么结合被积函数连续，利用定理19.10（连续性），可以推出f(x)在（0，+∞）上连续；但是这里不一致收敛；所以下面考虑推论：内闭一致收敛；

做法：

利用Dirichlet判别法，sinxy的积分值一致有界；

1/y关于y单调递减，关于x∈【a,b】一致趋于0；

上述两个条件满足，得到f(x)在【a,b】上一致收敛；

最后结合f(x)这个积分内闭一致收敛+被积函数连续，利用定理19.10（连续性）推出f(x)在（0，+∞）上连续！

3【北京师范大学】【很好的题，要整理好思路】

①既是瑕积分，又是无穷积分，拆成两段0→1以及1→+∞

②先确定收敛情况下α的范围，分瑕积分和无穷积分两种情况；在瑕积分过程要用到等价无穷小以及p-积分性质；在无穷积分过程中要分两段，以α是>1还是≤1的情况，α>1情况下利用反常积分比较原则极限形式来做；α≤1的情形发散；所以得到α∈（1，4）

③任取α∈[a,b]包含于（1，4）.确定了收敛的范围之下，再关于x的范围分类讨论；得到一致收敛；

④由于g(α）在[a,b]上一致收敛，因此在（1，4）内闭一致收敛，再结合被积函数连续，利用定理19.10（连续性）推出g(α）在（1，4）上连续.

4【太原理工】

思路：题有多解，典型的A-D判别法的应用

①问用Dirichlet判别法；②问用Abel/反常积分Cauchy准则

具体做法：

①问：

sintx关于t一致有界；x/(1+x^2)关于x单调且关于t一致趋于0【单调性可利用求导做】

②问

（法一）

思路：用Abel判别法.

具体做法：

（xsintx/(1+x^2)）*((1+x^2)/x^2)=sintx/x;

对于上式，第一个用反证假设其一致收敛，而且第二个利用((1+x^2)/x^2)关于t一致有界→利用Abel判别法推出这个积分在I上一致收敛，而且这个积分就是Poisson积分，积分值为π/2；

再利用定理19.8,利用Cauchy准则推出由于这个极限值不趋于0，那么就不一致收敛.

(法二）

采取题2的思路，利用反常积分一致收敛的Cauchy准则，取t=1/n∈（0，+∞），推出其不一致收敛.

5【南昌大学，中科大】

①问：

因为这里区间左端不是开区间，所以不能用M-判别法，注意因为M-判别法对参数范围左端是开区间;所以换思路，利用反常积分比较原则即可，被积函数放缩成e^(-xy)，这个反常积分值为1/y为常数，大的收敛，因此小的积分也收敛

②问：

此时参数区间左端是闭的，所以可以用M-判别法，放缩到e^(-ax)；

得到e^(-ax)这个的反常积分值为1/a为常数，收敛，利用M-判别法，得到原积分在【a,+∞）一致收敛

③问：

利用反证法，假设其一致收敛，写出一致收敛的定义；

然后写出关键的一步，让y→0+,得到积分值的绝对值≤ε；

再利用Cauchy准则推出sinx的积分收敛；

这与sinx的积分不存在矛盾；

所以不一致收敛！