蕴藏在大脑里的美丽几何——神经流形浅入门（下）研究进展

撰文丨沁瓢瓢（计算神经科学博士 普林斯顿大学博士后）

责编丨浦肯野

排版丨Ring

编者按上一篇文章中，作者回顾了神经科学研究重心的变迁历程，由此为我们呈现出神经流形（neural manifolds）如何在这一过程中应运而生，并深入浅出地介绍了理解认识神经流形相关研究的基本概念。而在这篇文章，作者将带领我们从该领域近年来的研究进展中，进一步领略神经流形的魅力。

谈起神经动力学领域的发展，2012年斯坦福的Shenoy组发表的一篇文章算是这个领域的一个重磅里程碑。他们在观察猴子的运动皮层活动时发现，即使控制臂展动作这样简单的神经活动，也惊人地展现出类似阻尼振荡曲线的周期性波动。之后他们又发现，历史状态的神经活动和当前的感官信息会共同影响运动皮层即时所处的状态——显然运动皮层的神经活动是一个动态系统。（虽然值得一提的是，之后不同的几个组研究人类和猴子做手部运动时候并未展现出像下图般的美丽几何图像）[1]。

据说当年Churchland等人就是无聊的时候盯着脉冲频率曲线而发现了他们其中似乎有隐藏共同波动趋势，从而发明了jPCA（数学中常用i和j两个字母代表虚数的意思）降维得到了美丽的几何结构。

这个故事告诉我们——

闲着没事干嘛？当然是盯着数据看呀！

此后科学家们又发现，我们的神经流形其实分为其中活动会控制肌肉活动的潜能空间（potent space） 和与之垂直、其活动不影响肌肉活动的零空间（null space）。运动准备状态时，神经活动处于零空间；而当真正开始执行动作时，神经活动则会发展到潜能空间[3]。于是，研究低维流形可以帮助我们更清晰地认识运动中枢如何通过少量独立信号来产生与控制运动行为，进一步还推动了脑机接口领域的发展。比如说，与其监控所有的神经元的活动，倒不如只监控潜能空间的神经活动。而另一方面，我们也可以通过脑机接口来监测运动皮层活动受低维神经流形约束的真实含义。比如匹兹堡大学的Batista组通过猴子的运动皮层来控制机械臂的活动。如果其控制机械臂的参数空间与神经元群体的神经流形空间正交，则很难对机械臂进行控制[4]。

 

当然，这种计算神经科学领域与拓扑学领域的交融，不仅仅限制于运动系统。2012年，Ahrens等人收集了斑马鱼在VR背景下运动时脑部的双光子成像数据，从中分析出斑马鱼脑区随着环境动态运动过程中发生的全脑神经动力活动（brain wide neural dynamics）[5]，到Bruno等人降维发现了海蛞蝓的运动神经元在行走运动呈现了稳定或者旋转态的活动[6]，再到2015年Okun等人记录了老鼠和猴子视觉中枢的神经活动，并研究了个体神经元是如何听从群体的指挥[7]。人们发现，大数量级的群体神经元活动都可以简化为小数量级的神经模态和随着时间推进而演变的潜在因子。于是，神经科学家们纷纷通过研究神经群体活动的几何结构来洞察各大脑区的内部工作机制。显然，一大组群体神经元在理论上能产生爆炸级个数的神经活动，但在真实情况下，神经元群体活动仍处于低维流形中，就像管弦乐队一样，大量的个体神经元其实都是这个“群体神经元乐队”中听话的成员。

 

此外，神经科学家们运用拓扑学方法来研究群体神经元活动的佳作随数不胜数，笔者在此点出几篇既简洁美丽又震撼有力的文章，推荐感兴趣的读者详读。首先，2019年Rishidev Chaudhuri用拓扑建模的方法可视化了丘脑中代表着头部朝向的神经元环路[6]。各位读者，试想一群各自代表着不同头部朝向的神经元，其功能活动会形成什么样的神经流形呢？首先，如果这个神经环路只编码头部朝向单个信息，那么该神经流形就应该是一维的，因为方向只是一个变量。其次，这个流形应该是圆环或者圆环的同胚环状的，类似下图，因为这样才能很好的编码不同的方向信息。令人震惊的是，事实恰如我们刚才的推测！研究人员发现，将丘脑中这群代表着动物头部朝向变化的高维复杂信息，正好可以降维成一个抽象简洁的环形云。而在实际空间中的头部朝向角度和降维处理形成环形云，也能够点对点地一一映射，也就是说环形云上相等的距离也代表着相同朝向角度的改变。

还有许多很精彩的研究，站在神经流形的角度揭露了知识在大脑中的几何结构。譬如2020年，哥伦比亚大学的Salzman实验室表征了猴子的海马和前额叶皮层，并且研究了人工智能系统如何在保留高破碎维度的优势下，以抽象几何的形式表示变量[9]。与之类似，2021年普林斯顿大学的Carlos Brody和David Tank 对虚拟场景下小鼠运动状态时群体神经元活动进行降维，发现海马神经元群体活动对空间位置变量和抽象认知变量的表征都呈现出美丽的几何特征[10]。

 

再如，2021年，普林斯顿大学的Tim Buschman组通过神经拓扑的方式发现，我们的大脑用“旋转”的方式来划分过去和现在的边界[11]。他们的研究认为，大脑为了避免新的感官信息干扰和覆盖过去的短期记忆，会把感官信息“旋转”到和短期记忆正交的空间中。打个生动的比方，在纸上记满了国文课的笔记后，将其旋转90度，用行与行之间的空隙来记录下一节数学课的笔记，这样我们就能用最少的纸张（即代表着最少的神经元和能量）来记录此刻和过去。

 

再到今年，我国的科学家用双光子钙成像记录了猕猴大脑前额叶皮层的神经群体活动，并研究了这个区域对于序列工作记忆的表征[12]。他们发现，神经元群体的活动可以被降维成一个个正交的环状几何结构空间，其中每一个子空间内的几何结构都一一映射的表征了视觉真实的空间位置。

 

可以说，无数的神经科学家都用拓扑几何的方法为我们可视化了大脑对于外界信息的萃取方式。

 

我们认为研究方向从以单个神经元为中心，向以群体活动降维提取出神经流形为中心的改变，是一个伴随科技进步，必然且重要的转化。但是这样神经动态系统的新发现，有多少是只能从这个级别出发才能领略到神经环路的真正功能，又有多少是我们早已熟知的单个神经元级别的发现，又换了个马甲呈现在我们面前呢[13]？另一方面，太过于关注处理变换的方法，而非研究的意义，也很容易让人偏离探索神经科学未知奥秘的正确道路。比如笔者一直坚持认为，我们用高级的数学方法产生的抽象理解，未必能反映出我们大脑内真实产生的神经活动。举例来说，2000年Ranulfo Romo的文章用傅里叶变换的方式，研究躯体感觉皮质对于刺激频率信息的存储是通过频率还是时间编码[14]。但是，我们的大脑真的会采取傅里叶变换这种高级复杂的方式来提取信息吗？笔者觉得未必，而其反映出的神经生物学机制是否真实存在，也需要打一个问号。

笔者认为，随着科技发展，研究方法可以进步，但是不能激进，不能偏离了我们探索科学知识的真正意义。正如麻省理工90后的神经科学家杨光宇（Guangyu Robert Yang）去年的一个演讲中所说，我们采用机器学习的方法来研究神经学问题，但要注意我们不能完全像机器学习方向的研究人员那样思考问题，如果完全用机器学习的方式来思考，就不是研究神经科学了（Many of us, we read a lot of machine learning papers, at some point, you start to think like machine learning people... On the other hand, if we want to do science, we cannot completely do machine learning.）。

同理，用几何拓扑学的方法来研究神经动态活动是科技的进步与思想方式的转变，但如果太过于侧重方法，而不是揭示真实的神经科学问题，显然会偏离揭示生命现象本质的正确道路。正如宋代禅宗大师青原行思提出参禅的三重境界：参禅之初，看山是山，看水是水﹔禅有悟时，看山不是山，看水不是水﹔大彻大悟时，看山仍然是山，看水仍然是水。那么，我们降维解析出的美丽几何流形，是大脑里的第几层山水呢？

·封面来源·

arXiv:2103.02663v1

·文章插图·

图1 参考文献[2]

图2 参考文献[8]

·参考文献·

1. Suresh, A. K., Goodman, J. M., Okorokova, E. V., et al. (2020). Neural population dynamics in motor cortex are different for reach and grasp. eLife, 9, e58848.

2.Churchland, M. M., Cunningham, J. P., Kaufman, M. T., et al. (2012). Neural population dynamics during reaching. Nature, 487(7405), 51-56.

3. Kaufman, M. T., Churchland, M. M., Ryu, S. I., et al. (2014). Cortical activity in the null space: permitting preparation without movement. Nature Neuroscience, 17(3), 440-448.

4. Sadtler, P. T., Quick, K. M., Golub, M. D., et al. (2014). Neural constraints on learning. Nature, 512(7515), 423-426.

5. Ahrens, M. B., Li, J. M., Orger, M. B., et al. (2012). Brain-wide neuronal dynamics during motor adaptation in zebrafish. Nature, 485(7399), 471-477.

6. Bruno, A. M., Frost, W. N., & Humphries, M. D. (2015). Modular deconstruction reveals the dynamical and physical building blocks of a locomotion motor program. Neuron, 86(1), 304-318.

7. Okun, M., Steinmetz, N. A., Cossell, L., et al. (2015). Diverse coupling of neurons to populations in sensory cortex. Nature, 521(7553), 511-515.

8. Chaudhuri, R., Gerçek, B., Pandey, B., et al. (2019). The intrinsic attractor manifold and population dynamics of a canonical cognitive circuit across waking and sleep. Nature Neuroscience, 22(9), 1512-1520.

9. Bernardi, S., Benna, M. K., Rigotti, M., et al. (2020). The geometry of  abstraction in the hippocampus and prefrontal cortex. Cell, 183(4), 954-967.

10. Nieh, E. H., Schottdorf, M., Freeman, N. W., et al. (2021). Geometry of abstract learned knowledge in the hippocampus. Nature, 595(7865), 80-84.

11. Libby, A., & Buschman, T. J. (2021). Rotational dynamics reduce interference between sensory and memory representations. Nature Neuroscience, 24(5), 715-726.

12. Xie, Y., Hu, P., Li, J., et al. (2022). Geometry of sequence working memory in macaque prefrontal cortex. Science, 375(6581), 632-639.

13. Elsayed, G. F., & Cunningham, J. P. (2017). Structure in neural population recordings: an expected byproduct of simpler phenomena? Nature Neuroscience, 20(9), 1310-1318.

14. Salinas, E., Hernandez, A., Zainos, A., et al. (2000). Periodicity and firing rate as candidate neural codes for the frequency of vibrotactile stimuli. Journal of Neuroscience, 20(14), 5503-5515.

https://www.youtube.com/watch?v=QHj9uVmwA_0