已知a是方程x²+x−¼=0的根,求S=(a³−1)/(a⁵+a⁴−a³−a²)

题一、
已知a是方程x²+x−¼=0的根,
求S=(a³−1)/(a⁵+a⁴−a³−a²) 

分析题目

分析题目，已知为一元二次方程，所求为高次分式代数式，这种显然是要建立合适的降幂等式，当然直接降幂逐级降次代入计算有点大，所以我们还需要对所求的S先进行化简，据此分析我们来解题，

首先由已知，显然可以得到，
 a²+a−1/4=0 

至于会用到哪个降幂等式暂不确定，那我们移项得到，
a²=1/4−a

再移项得到，
a²+a=1/4 

这三个降幂等式备用，接着我们先化简所求的S，即对S，的分子分母分别因式分解，分子立方差因式分解，分母提取公因子埃方，即得到
S=(a−1)(a²+a+1)/a²(a³+a²−a−1)

继续对分母的第二个乘积项里的四个项次，前两项次提取埃方后剩下a+1 ，刚好与后两项形成公因子，直接提取公因子a+1 后得到，
S=(a−1)(a²+a+1)/a²(a+1)(a²−1) 

 可以看出分母的埃方减去1，平方差公式继续因式分解，分解后产生的，埃减1，刚好与分子约掉，整理后得到，
S =a²+a+1/a²(a+1)

 此时我们分析分子直接利用第三个降幂等式即可代入，分母则需要展开括号方能利用第三个降幂等式，整理后得到，
S =a²+a+1/(a²+a)² 

这样直接代入第三个降幂等式的值四分之一，即得到，
S=1/4+1/(1/4)²=20 

最后算得S=20 

参考答案