浅谈高等数学（8）

2022-02-25 21:14 作者:-YD-LM- 0人读过 | 我要投稿

计算是数学之基础。

第八期导数与微分的运算法则

在高等数学的教材中，微分是放在导数完全结束后讲述的；但若是我们提前了解了微分，那么涉及导数的许多公式也就明晰许多了。然而，我们不得不使用许多严谨的计算，初见时可能会有一些枯燥。与此同时，也希望读者能体会严谨中蕴含的整洁与美观。

一、函数和的导数

设函数 $u%3Du(x)%2C%5C%20v%3Dv(x)$ ，求 $(u%2Bv)'$ 。推导如下：

$(u%2Bv)'%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)%2Bv(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)-v(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

$%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%2B%5Cfrac%7Bv(x%2B%5Cmathrm%20dx)-v(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

$%3Du'%2Bv'.$

因此，函数和的导数等于它们导数的和。使用数学归纳法可以证明多个函数的情况，发现仍旧如此；不了解数学归纳法的请往下翻。

二、函数积的导数

设据同上，求 $(uv)'$ 。推导如下：

$(uv)'%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)v(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)v(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

$%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)%C2%B7%5Bv(x%2B%5Cmathrm%20dx)-v(x)%5D%2Bv(x)%C2%B7%5Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)%5D%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

$%3Du(x%2B%5Cmathrm%20dx)%C2%B7v'%2Bv(x)%C2%B7u'$

$%3Du'v%2Buv'.$

通过这个公式，我们对多元情况进行尝试，容易得到

$(uvw)'%3Du'vw%2Buv'w%2Buvw'%2C$

$(uvwx)'%3Du'vwx%2Buv'wx%2Buvw'x%2Buvwx'.$

于是，我们猜想：

$(y_1y_2y_3%5C%20...y_n)'%3D%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_n%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_n%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_n%5E%7B(%5Calpha_n)%7D.$

先解释一下这个式子：由于 $%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B...%2B%5Calpha_n%3D1$ 且他们之和均为非负数，又因为求和号的意义，他们均为自然数——因此只有可能是其中一个为1，其余的均为0.式子中，我们定义 $y%5E%7B(0)%7D%3Dy%2Cy%5E%7B(1)%7D%3Dy'.$ 至于 $%5Calpha%0A$ 取其他数时的情况，我们以后会讲述。这个式子同样能用数学归纳法证明，数学归纳法是说：

若（1） $n%3D1$ 时，命题 $p$ 为真；

（2）若 $n%3Dk%5C%20(k%5Cin%20%5Cmathrm%20N%5E*)$ 时 $p$ 为真，则 $n%3Dk%2B1$ 时 $p$ 为真，

则 $%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathrm%20N%5E*$ ， $p$ 为真。自然数集亦可类比。

下面是证明：首先， $n%3D1$ 时显然成立。

若 $(y_1y_2y_3%5C%20...y_n)'%3D%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_n%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_n%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_n%5E%7B(%5Calpha_n)%7D$ ，则

$(y_1y_2y_3...y_%7Bn%2B1%7D)'%3Dy_%7Bn%2B1%7D%5E%7B(1)%7D%C2%B7%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_n%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_n%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_n%5E%7B(%5Calpha_n)%7D$

$%2By_1%5E%7B(0)%7Dy_2%5E%7B(0)%7Dy_3%5E%7B(0)%7D%E2%80%A6y_n%5E%7B(0)%7Dy_%7Bn%2B1%7D%5E%7B(1)%7D$

$%3D%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_%7Bn%2B1%7D%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_%7Bn%2B1%7D%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_%7Bn%2B1%7D%5E%7B(%5Calpha_%7Bn%2B1%7D)%7D.$

命题即得证。

三、复合函数的导数

设函数 $y%3Df%5B%20g(x)%5D$ 由 $y%3Df(u)$ 与 $u%3Dg(x)$ 两个可导函数复合而成，求 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ 。

则 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20du%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3Df'(u)%C2%B7g'(x).$ 这是较为直观的一条结论。

同样地，可以证明由多个函数 $u_%7Bn-1%7D%3Df_n(x)%2Cu_%7Bn-2%7D%3Df_%7Bn-1%7D(u_%7Bn-1%7D)...%2Cu_1%3Df_2(u_2)%2Cy%3Df_1(u_1)$ 复合而成的函数 $y%3D(f_1%5Ccirc%20f_2%5Ccirc%E2%80%A6%5Ccirc%20f_n)(x)$ 的导数为 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20du_1%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du_1%7D%7B%5Cmathrm%20du_2%7D%C2%B7%5C%20......%5C%20%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du_%7Bn-2%7D%7D%7B%5Cmathrm%20du_%7Bn-1%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du_%7Bn-1%7D%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D.$

四、函数商的导数

设函数 $u%3Du(x)%2Cv%3Dv(x)$ ，且 $v(x)%5Cnot%3D0$ ，求 $%5Cbigg(%5Cfrac%20uv%5Cbigg)'$ 。

它是可以使用与函数积的导数相同的方法求解的，只是多了通分的步骤。读者可以尝试证明，并且教材上也有。这里给出另一种方法：

首先，求 $y%3D%5Cfrac1x$ 的导数：

$y'%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac1%7Bx%2B%5Cmathrm%20dx%7D-%5Cfrac1x%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7Bx-(x%2B%5Cmathrm%20dx)%7D%7Bx(x%2B%5Cmathrm%20dx)%5Cmathrm%20dx%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7Bx%5E2%5Cmathrm%20dx%7D%3D-%5Cfrac1%7Bx%5E2%7D.$

于是， $y%3D%5Cfrac1%7Bv%7D$ 对 $x$ 的导数为

$-%5Cfrac%7Bv'%7D%7Bv%5E2%7D.$

最后， $y%3D%5Cfrac%20uv$ 对 $x$ 的导数为

$y'%3D%5Cbig(u%C2%B7%5Cfrac1v%5Cbig)'%3D%5Cfrac%7Bu'%7Dv-%5Cfrac%7Buv'%7D%7Bv%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bu'v-uv'%7D%7Bv%5E2%7D.$

五、反函数的导数

其与复合函数一样也非常直观。设函数 $x%3Df(y)$ 在某区间内具有反函数 $y%3Df%5E%7B-1%7D(x)$ ，

则

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bf'(y)%7D.$

需要注意的是，这里是用原函数对 $y$ 求导，而非 $x$ 。

对于其几何意义，还有一种深入的理解：

如图是 $y_1%3D%5Csin%20x$ （蓝）与 $y_2%3D%5Carcsin%20x$ （红）的图像，由反函数的意义可知它们的图像是关于 $y%3Dx$ 对称的。假如我们要考察反函数在 $B(%5Csin%20x_0%2Cx_0)$ （为了方便起见，我们只考虑 $(0%2C%5Cfrac%5Cpi2)$ 内的部分）处的导数，则对应的，原函数上的点应为 $A(x_0%2C%5Csin%20x_0)$ 。原函数切线交x轴于C，交y轴于E；反函数切线交x轴于F，交y轴于D。由于关于 $y%3Dx$ 对称，则可知 $%E2%88%A0ECO%3D%5Cfrac%5Cpi2-%E2%88%A0FDO.$ ，即 $%5Ctan%E2%88%A0ECO%5Ctan%E2%88%A0FDO%3D1.$ 而这两个角恰好分别是原函数与反函数的倾角，故有