《几何原本》命题1.39【夸克欧氏几何】

命题1.39：

如果在同底边同侧的两个三角形面积相等，那么其顶点的连线与底边平行

已知：△ABC，△DBC在BC同侧，且S△ABC =S△DBC

求证：AD∥BC

解：

设AD，BC不平行

过点A作AE∥BC，与BD交点记为点E

（命题1.31）

连接CE

（公设1.1）

证：

∵BC公用，AE∥BC

（已知）

∴S△ABC=S△BCD

（命题1.37）

∵S△ABC=S△DBC

（已知）

∴S△DBC =S△BCD

（公理1.1）

∴小的等于大的，这是不可能的

（公理1.5）

同理可证除AD外别的线都不可能是BC的平行线

∴AD∥BC

证毕

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