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第 二 章 矩阵及其运算

&3.逆矩阵

概念：

• 线性变换的逆变换：设给定一个从变量x1,x2,...,xn组成的列矩阵X到y1,y2,...,ym组成的列矩阵Y的线性变换，它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，则线性变换可以记作Y=AX——

    ——以A的伴随矩阵A*左乘Y=AX两端，则A*Y=A*AX，即A*Y=|A|X

    ——当|A|≠0时，可解出

    ——上式中X=BY即为从Y到X的线性变换，称为X到Y的线性变换的逆变换。

• 规律：

• 奇异矩阵：当|A|=0时，A称为奇异矩阵。

• 非奇异矩阵：当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵。

定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵，记作

性质：

• 如果矩阵A是可逆的，那么A的逆阵是唯一的

• 若矩阵A可逆，则|A|≠0

• 若|A|≠0，则矩阵A可逆，且  

    ——A*为方阵A的伴随阵

• 若AB=E（或BA=E），则

• A是可逆矩阵的充分必要条件是当A|≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

运算律：

• 矩阵A的m次多项式

• 定义：设

        ——为x的m次多项式，A为n阶矩阵，记

        ——φ(A)称为矩阵A的m次多项式。

• 运算律：

&4.矩阵分块法

概念：

• 分块法：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

• 分块矩阵：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

运算规则：

• 加法：设A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有

    ——其中Aij与Bij的行数相同、列数相同，那么

• 数乘：设

    ——λ为数，那么——

• 乘法：设A为mxl矩阵，B为lxn矩阵，分块成

    ——其中Ai1,Ai2,...,Ait的列数分别等于B1j,B2j,...,Btj的行数，那么

    ——其中

• 转置：设

    ——则

• 分块对角矩阵：

• 定义：设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即

        ——其中Ai(i=1,2,...,s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵。

• 性质：

1. |A|=|A1||A2|...|As|

2. 若|Ai|≠0(i=1,2,...,s)，则|A|≠0，并有

• 按行分块：mxn矩阵A有m行，称为矩阵A的m个行向量，若第i行记作

    ——则矩阵A便记为

• 按列分块：mxn矩阵A有n列，称为矩阵A的n个列向量，若第j列记作

    ——则矩阵A便记为

• 矩阵乘法的向量表示：对于矩阵A=Aaij)是一个m行s列矩阵，B=(bij)是一个s行n列矩阵