前言

这是我在上厕所时思考的一个问题，因为亲戚跟我说，可以开一个小时空调，然后关两个小时。这样房间里总体上是温暖的。等冷了之后再开，也是开一个小时。

乍一看是有道理的，因为这样相当于只有1/3的时间是开着的，其余2/3的时间关掉了空调，不消耗能源。但是细想又不一样，似乎“冷了之后再开”，要消耗更多的能量来加热。于是想着想着，我发现不能在上厕所时很好地解决这个问题。于是打算用数值模拟一下两种开空调的方法。

设定

这里有必要说明一下我的假定。首先，空调设定多少度，不意味着吐出来多少度的气流。设定的温度，更多的是一个“停止标志”，也就是空调的传感器测到气温接近这个停止标志时，就停止工作。比如设定制热25℃，可能加热到25℃就停止加热，然后直到气温低于另一个阈值时（比如23℃），空调又重新开始工作。这样，空调本身就是“开开停停”的状态。

空调和那种灯管的制热器又不一样，那种制热器是直接加热房间内的气体，而空调是向房间内吐出温度较高的气体。房间不会完全密封，会从门缝、窗缝等处又有气体流失。我们假定房间始终保持原有的气压，那么进来多少气体，就会流失掉多少气体，只不过进来的是相对热的、流失的是相对冷的。

下面我对一些基本参数进行设定。现在普通人的卧室使用面积约10平米，高度约2.8米，那么容积大约28立方米。房间里其实有其它物件，这里忽略不计，假定是个空房间。外界的气温设定为恒定0℃，房间的初始温度为10℃，空调的设定温度为25℃，空调再次启动的阈值是23℃。

拉上窗帘，不透明的窗户、门和墙面等很难让红外光流出，故而房间对外界的热辐射忽略不计。热对流如上文所述，空调向房间吹入相对热的气体，门缝窗缝等流出房间内相同体积相对冷的气体。下面就是相对复杂一点的热传导：

热传导其实在理论上类似于电学中的欧姆定律。一个介质两侧电势的差值越高，那么介质上流过的电流也就越多。这个电流就体现了单位时间转移的电荷量。早在初中阶段，大家就接触过欧姆定律

其中是电阻，电阻越大，那么介质的绝缘效果也就越好。

热传导的过程也类似于电荷量的传导。两侧的温度差值为越高，那么介质上单位时间、单位面积流过的热量也就越多。

我们也用表示这个阻值，不过叫做热阻。单位时间、单位面积流过的热量单位为，意思是每平方米的介质上每秒钟流过多少焦耳的热量。温度差的单位是，那么热阻的单位是。

为了方便计算，我们用热导来代替热阻，热导的单位是。

我们的房间有多大的表面积？10平方米的房子暂且视为3.1*3.2米，高度2.8米，两面墙对外，面积约17.7平方米，其余的墙面忽略不计。

窗户面积1.5平方米，热导为。参考南方典型省份的的标准。这个量级大概是单层透明玻璃。

外墙（去除窗户）约16.2平方米，热导同样用南方夏热冬冷地区的标准，热导取

窗户和外墙是并联的（热流可以选择其一穿过，而不是串联式地穿过一个再穿过一个）。

空调以JD上某型号为例，风量，额定制热功率。也就是每秒钟，把5000 J的热量加热给0.175立方米的空气，恒压过程，会使得这些空气升温22 K。如果室外温度0℃，设定温度25℃，那么永远都达不到设定温度。所以空调不能开到最大风量，如果风量取，那么可以加热32 K，这样的话，如果室外0℃，那么空调吐出来的热风为32℃。根据理想气体状态方程，从273 K恒压升温到305 K，体积会增大11.7%。不过这里的风量到底是吸入的风量还是吐出的风量……过于复杂，我们不妨认为是吐出的风量，这样方便计算。

现在我们做好了各种基本假定：一个28立方米初始温度10℃的房间，空调可以每秒钟把0.12立方米32℃的热空气流入，有相同体积的房间气体流出。房间还有对外的热传导，表现为16.2平方米的墙面和1.5平方米的窗户，数据设定如上文所示。

即

不开空调

初始温度10℃如上文设定的房间，如果不开空调，会怎样呢？

我们一秒一秒地模拟房间的温度（step = 1），模拟一个小时（3600秒）。

返回了三个数据，时间序列、温度序列和加热能耗。

简单地调用matplotlib库，来绘制两个序列的函数图像。

这里把能量的单位从公制单位焦耳转换成了常用单位千瓦时。

可以看到，如果不开空调，室内温度将会从10℃快速下降。在10分钟后，下降到约7℃；在1小时后，下降到1.5℃。北方的墙面、窗户会比南方更为绝热（热导更低），故而北方不会如此快速地降温。

不调节的空调

我们假设有一个空调，不可以设定温度，也不会达到温度后自动停止。

我们在for循环里添加空调的模拟。

如此开一个小时

一个小时以5000 W的制热功率开满，恰好消耗5.0千瓦时的制热能耗。

这款空调能力较强（也可能是我设定的房间较小，如果客厅的话，面积20平米相当于大一倍），开启后163秒后达到了20℃。（毕竟我这个空调不需要启动时间，一开启就全功率运作）

在开启后721秒（约12分钟）达到28℃，此后基本平稳，保持室内温度在28℃以上，但未突破29℃。因为在这种情况下，空调的制热和房间的漏热达到了动态平衡。

调节的空调

也就是我在最开始所述，空调开始加热，加热到设定温度后停止加热。直到气温低于阈值温度再恢复加热。

我们引入变量on来表达空调是否工作。

得到的模拟图像：

在开启后346秒后（约6分钟），房间达到设定的温度25℃，随后进入起起伏伏的循环。循环周期约248秒（约4分钟）。空调的制热功耗从5千瓦时降低到了2.18千瓦时，直接节约掉了一半多的制热功耗。

如果开更久呢？下面设定开10小时。

制热功耗19.3千瓦时，相当于1.93 kW的平均功率。

开一会关一会

这里说的开一会关一会，指的是亲戚说的手动开关空调开关。并且现代的空调本身也有自动调控的功能（上文248秒的循环）。

按照亲戚的说法，开1个小时，停2个小时，每3小时一个循环。

模拟的结果如下图

制热功耗8.8千瓦时，相当于0.88 kW。降低了一半以上。在关闭空调7分钟后温度低于20℃，在关闭空调26分钟后温度低于10℃。也就是说，关掉空调的两个小时里，有一个半小时以上是房间温度低于10℃的。

那必然是亲戚说的不妥，不能开一个小时、关两个小时。我们加快手动调节的频率，开十分钟，关二十分钟。

这样制热功耗又有所上升，达到了11.4千瓦时。不过只有二十分钟的间隙，室内温度无法下降到10摄氏度，实际上下降到13摄氏度左右就重新开启空调了。

进一步思考

上面的这个模型，其实更接近设定阈值温度为13℃、设定温度25℃的自动调节空调。

功耗10.5千瓦时，温度也是在13~25℃来回振荡。可见阈值温度越低，空调越晚恢复工作，越省制热功耗，但是制热效果也就越差。

1℃的影响

如果我们希望温度在23~25℃之间来回振荡，那么10小时的功耗是19.3千瓦时。如果我们调高温度一度，也就是在24~26℃之间来回振荡，功耗达到了23.1千瓦时。相对增加了19.7%。

也就是说，设定温度从25℃调高到26℃，只提高了1度，人或许感觉不出来，但是制热能耗增加了接近五分之一。

我好奇这一结论，如果制热设定温度分别是23~29℃，会怎样呢？这里按10小时计算，更像是开一通宵的时长。

如果设定温度23℃，制热能耗14.1千瓦时，如果设定29℃，制热能耗50千瓦时（其实从未达到29℃）后者大约是前者的4倍。也就是说，设定气温高低一度，都可能会带来比较大的制热能耗差异。

“智能”空调

假设有一个空调，在达到设定温度之后，就不再以额定功率工作。而是降低功率，保持制热量和房间损失的能量相同。这样，会不会更节能呢？

还是以上文的房间为例，假设设定温度25℃。户外还是设定0℃，这个时候墙壁和窗户的热传导功率为485 W。如果是使用红外灯管等制热设备，那么只需要485 W的加热器就可以实现动态平衡。空调最浪费能源的地方，在于是从户外吸入0℃的气体，而不是加热既有的气体。

以1秒的时间来考虑，相当于1秒让房间丢失485 J的能量。能让28立方米的空气下降0.0217℃。这意味着空调要吐出0.12立方米30.06℃的气体才能保持气温恒定。而把0.12立方米0℃恒压加热到30.06℃，需要4653 J的制热能量。也就是空调的制热功率需要4653 W，开10小时，就是46.5千瓦时。远高于23~25来回摆动的模型（19.3千瓦时）。

故而这种恒定气温来自动调节功率的方法，反而更耗能。可以视为阈值温度无限接近设定温度。

小结

1. 开开关关会更加节省能量，但是制热效果不好。短短几分钟就足以让温度下降到20℃以下。

2. 设定温度26℃比设定温度25℃多消耗制热能量接近20%。故而能调低一度是一度。

3. 恒定气温来自动调节功率的方法更加耗能。

4. 本文是纯理想的数学建模，没有实验数据加以佐证。

讨论

关于气体状态：

本文中虽然气体热容是按照等压膨胀的模型算的，但是计算体积时又忽略不计了。本文说的每秒0.12立方米都是指加热后的吐气量。考虑到0℃到32℃，气体体积变化在百分之十几的数量级，并不适合忽略不计。故而其它人可以进一步完善这方面的工作。

关于能耗：

另外本文中说的空调功率、能耗，都指的是制热部分。制热和制冷不一样，制热的热力学模型简单，制冷还要卡诺循环，更加复杂。制热的能量效率很高（某种意义上，制热模块用掉的电能最终都变成了内能，100%），虽然空调外机的风机还要消耗机械功率。所以算出来一晚上20千瓦时的制热能耗，实际上消耗掉的电能可能更多。

关于0℃的户外温度：

我这里主要说的是南方冬季的晚上。根据Weather Spark的统计数据，贵阳、长沙在1月每日最低温平均2℃；上海、杭州、武汉1℃；苏州、黄山、安庆0℃；南京、合肥-1℃。在这些泛长江流域的城市，冬季夜间气温0℃是可以达到的。要到大致福州-赣州-桂林一线，1月每日最低气温平均才有5℃以上，基本上就是泛珠江流域的岭南了。

关于北方：

北方的冬季晚上的气温更低，以通辽为例，1月每日最低温只有-19℃，远低于0℃。但是北方的墙体更加厚实、开窗更小，而是使用特殊的隔热玻璃、多层玻璃，故而墙体和窗户的热导需要修改。另外，北方有集中供暖，开什么空调（狗头）。