随便写的做耐久小教程——（5）基于数学的一些弹幕举例

本教程是基于umbrella丶2修改果引擎制作的耐久引擎（稍加改动）的教程，该引擎gm版本为Gamemaker8。 

此章提及一些数学方法在弹幕设计中的应用，有些弹幕事实上使用频率并不高，编写此章的原因仅仅是希望能为读者带来一些启发

一.均分直线与多边形

在第（3）章中，我们介绍了以极坐标的方式生成正方形的方法，效果如下

同样，用极坐标的方式，可以通过如下函数创建多边形：

但是，通过这种方式创建的多边形中，弹幕以角度为单位平均分布。而有时，我们希望达到的是下图效果：

此时，我们就需要通过创建均分直线来实现目的

1.均分线段

假设有一条线段，其上可以分布有任意数量的点，其中，线段两端分别记为A0与A1，随着线段上的点由A0向A1靠近，An的下标“匀速”增大，那么要如何确定An的坐标？

总而言之，假设A0的坐标为(x0,y0),A1的坐标为(x1,y1),那么可以通过以下代码确定An的坐标:

xn=n*x1+(1-n)*x0

yn=n*y1+(1-n)*y0

通过这一形式，我们可以创建一条均分直线。比如，若我们要将一条线段平均分为十段，每段的端点上有一个弹幕，我们可以通过如下的代码形式实现：

for(i=0;i<=10;i+=1){

    n=i/10

    xn=n*x1+(1-n)*x0

    yn=n*y1+(1-n)*y0

    instance_create(xn,yn,obj)

}

2.多边形

为图简便，我们将上述的创建均分直线的代码改写为脚本

又因为，一个正多边形的边可以由圆上平均分布的数点确定

因此，创建多边形的代码可以写作类似如下形式：

R=150

dir=15

n=5

Nums=6

for(i=0;i<n;i+=1){

    xA=lengthdir_x(R,360*i/n+dir)

    yA=lengthdir_y(R,360*i/n+dir)

    xB=lengthdir_x(R,360*(i+1)/n+dir)

    yB=lengthdir_y(R,360*(i+1)/n+dir)

    Line(xA,yA,xB,yB,Nums)

}

同样的，除了多边形以外，通过参数方程确定某些点，再连接这些点，可以生成众多不同的图像。

下列图形留作习题：

二.扩散

假设我们想要创建一个从点向外扩散的圆，显然可以通过以下代码实现：

for(i=0;i<60;i+=1){

    inst=instance_create(400,304,obj)

    inst.direction=i*6

    inst.speed=3

}

但是，如果换作正方形等各种不规则图形，要怎么确定速度呢？

可以证明，当所有弹幕由同一点匀速射出时，它的形状将与速度矢量所形成的形状保持相似

因此，假设我们要创建一个扩散的多边形弹幕，可以通过更改上文所述的创建多边形代码实现：

R=10

dir=15

n=5

Nums=6

for(i=0;i<n;i+=1){

    xA=lengthdir_x(R,360*i/n+dir)

    yA=lengthdir_y(R,360*i/n+dir)

    xB=lengthdir_x(R,360*(i+1)/n+dir)

    yB=lengthdir_y(R,360*(i+1)/n+dir)

    for(i=0;i<=10;i+=1){

        n=i/10

        xn=n*xB+(1-n)*xA

        yn=n*yB+(1-n)*yA

        inst=instance_create(400,304,obj)

        inst.direction=point_direction(0,0,xn,yn)

        inst.speed=point_direction(0,0,xn,yn)

    }

}

三.正则变换与圆形区域随机弹

若我们要在一个半径为200的圆内创建200个随机弹，显然我们很容易想到如下方式：

repeat(200){

    Dir=random(360)

    Len=random(200)

    instance_create(320+lengthdir_x(Len,Dir),240+lengthdir_y(Len,Dir),objCherry)

}

这种方式创建出的弹幕如图所示。

然而，由于这种方法创建出的弹幕，圆心位置的弹幕会比周围更加密集。在某些特定情况下（比如kid有可能位于圆心）会产生一些不合理的配置，有没有办法让所有位置的弹幕平均分布呢？

首先，我们将Dir与Len视作直角坐标系上的随机变量，如下图所示，显然，Dir与Len将在区域内平均分布，因此，在每块小正方形区域内的弹幕数量可视作相等

之后，我们将其投影到极坐标上，显然，如果要使弹幕保持平均分布不变，则每块投影区域的面积相等

作正则变换，有

将结果进一步简化，可得以下代码：

repeat(200){

    Dir=random(360)

    Len=200*sqrt(random(1))

    instance_create(320+lengthdir_x(Len,Dir),240+lengthdir_y(Len,Dir),objCherry)

}

结果如下：

此外，若对参数稍加改动，还可能出现如下结果

四.图形过渡与sigmoid函数

在上文中，我们提到了确定线段上An坐标的方法，那么，假设有两个图形，我想要让弹幕从图形1变为图形2，是否也可以用这种方法实现？

事实上，假设图形S0上每个点(xi,yi)都能对应到另一个图形S1上的点(x'i,y'i)，那么就可以通过x‘’i=n*x'i+(1-n)*xi,y‘’i=n*y'i+(1-n)*yi的方式实现

例如:

Time+=1

if Time=1{

    for(i=0;i<60;i+=1){

        inst[i]=instance_create(200+lengthdir_x(100,i*6),304+lengthdir_y(100,i*6),obj)

    }

}

if Time>=40 && Time<=50{

    n=(Time-40)/10

    for(i=0;i<60;i+=1){

        x1=200+lengthdir_x(100,i*6)

        y1=304+lengthdir_y(100,i*6)

        x2=600+lengthdir_x(100,90-i*6)

        y2=304+lengthdir_y(100,90-i*6)

        inst[i].x=n*x2+(1-n)*x1

        inst[i].y=n*y2+(1-n)*y1

    }

}

这样，弹幕就能从一个圆变换成另一个圆

不过，这种变换并不平滑，为使变换更为流畅，我们可以将n用sigmoid函数来表示

如：

Time+=1

if Time=1{

    for(i=0;i<60;i+=1){

        inst[i]=instance_create(200+lengthdir_x(100,i*6),304+lengthdir_y(100,i*6),obj)

    }

}

if Time>=40 && Time<=80{

    n=1/(1+exp(-(Time-60)/2))

    for(i=0;i<60;i+=1){

        x1=200+lengthdir_x(100,i*6)

        y1=304+lengthdir_y(100,i*6)

        x2=600+lengthdir_x(100,90-i*6)

        y2=304+lengthdir_y(100,90-i*6)

        inst[i].x=n*x2+(1-n)*x1

        inst[i].y=n*y2+(1-n)*y1

    }

}

这种方式不仅可以在静态图形间进行变换，也可以在动态弹幕间进行变换，只需要弹幕的坐标变化可以通过代码来表示，例如：

Time+=1

if Time=1{

    for(i=0;i<60;i+=1){

        inst[i]=instance_create(200,304,obj)

        spe[i]=random_range(10,20)

        dir[i]=random(360)

        x1[i]=200

        y1[i]=304

    }

}

for(i=0;i<60;i+=1){

    x1[i]+=lengthdir_x(spe[i],dir[i])

    y1[i]+=lengthdir_y(spe[i],dir[i])

}

if Time<40{

    for(i=0;i<60;i+=1){

        inst[i].x=x1[i]

        inst[i].y=y1[i]

    }

}

if Time>=40 && Time<=80{

    n=1/(1+exp(-(Time-60)/2))

    for(i=0;i<60;i+=1){

        x2=600+lengthdir_x(100,90-i*6)

        y2=304+lengthdir_y(100,90-i*6)

        inst[i].x=n*x2+(1-n)*x1[i]

        inst[i].y=n*y2+(1-n)*y1[i]

    }

}

其中，黑体部分是模拟随机弹的x，y坐标变化的代码

Time分成<40和40<<80两种条件是为了防止e的次方过大导致数据溢出

附.一些常见的简单弹幕

for(i=0;i<=120;i+=1){

    inst=instance_create(i*10-200,304,objCherry)

    inst.direction=i*10

    inst.speed=1

}

即：角度随着与直线端点的距离增大而增大

for(i=0;i<=60;i+=1){

    dir=i*6

    inst=instance_create(400+lengthdir_x(100,dir),304+lengthdir_y(100,dir),objCherry)

    inst.direction=-i*6

    inst.speed=1

}

即：速度角度与速度角度改变量相反

friction=0.5

hspeed+=lengthdir_x(1,point_direction(x,y,mouse_x,mouse_y))

vspeed+=lengthdir_y(1,point_direction(x,y,mouse_x,mouse_y))

将mouse_x,mouse_y改成跟踪对象的x,y坐标即可食用

若还有其他可能比较有意思的弹幕，可能会在教程（5.X）中补充，也欢迎在评论区或者加入我的群提问，群号726054484。

下一章将简要讲一讲关于GML中绘制函数的一些应用（不包括表面）