看不懂的高等代数（四）
啊……很久很久以后，我终于又有时间来更新专栏了……
嘛，不过我们更新一次介绍的内容也蛮多的，所以倒也足够大家在这么长的时间里来消化~
这一次呢，在介绍过行列式的基本定义之后，我们就要具体研究行列式的各种性质了。我们将会从基本定义出发，来介绍行列式的各种运算性质，以及一些基本应用，用以简化许多行列式的计算。
所以，话不多说，我们开始吧！
Chapter Two 行列式
2.3 行列式的性质
我们上一篇介绍了行列式的定义，其计算方式是n!个乘积项的加和。我们曾经在数学分析部分介绍过n!的估计（Stirling公式），即：
可以看到，随着n的增大，乘积项的数目是至少指数级增大的。于是，当n足够大的时候（甚至是n≥5时，此时有120项），直接依靠定义去计算都会非常复杂。于是，我们迫切需要找到一些方法，来简化运算的实际过程。
因此，我们先来研究一下行列式的性质。
首先，我们上次证明过，无论是固定行序数排列列序数还是固定列序数排列行序数，对于同一个行列式而言，计算结果是不会发生改变的。于是，我们就能得到：
将行列式的行变为列，列变为行（行列互换），行列式的值不变。
我们称矩阵A行列互换的结果为矩阵A的转置，记为。
则这一结果可以记为：
我们提到过，行列式本身也是基于一个方形数表（即方阵）定义的计算规则，那么我们就要来看看，对方阵的元素做改变，能够对行列式的计算值产生什么影响。
我们曾经介绍过，任何矩阵都可以通过初等行变换变为行阶梯形矩阵，而对于方阵而言，行阶梯形矩阵一定是一种上三角形矩阵，其结果我们是有结论可以直接应用的。所以，我们就很自然地去想，初等行变换会不会影响行列式的值？
首先，我们来看一下比较好讨论的初等行变换——倍乘变换。
所谓倍乘变换，其实就是矩阵的某一行变成了原本的k倍。这相当于是用k乘以该行所有元素，所以我们称之为倍乘变换。
显然，我们有：
从以上推导的过程当中，我们也可以看到：
这表明，在行列式的某一行（列）上乘上某一个因子，等于行列式整体乘一个相同的因子。即，在至多相差一个因子的情况下，倍乘变换不改变行列式的值。
接下来，我们来看一下加和变换。
加和变换，就是将矩阵的第k行加到第m行上去（加到本行就相当于做了倍乘），使得原本的第m行变为某两行之和。
还是从定义来推导，我们能得到：
我们现在需要研究一下，推导中等号右侧的表达式的值。
可以看出来，对于等号右侧表达式而言，实际上就是要求一个这样的方阵的行列式：
我们介绍过，在任何一个乘积项中，一次对换改变排列的奇偶性。因此，对于行列式中的任何一项，我们就能得到：
于是，我们就得到了：
这就是说：
行列式中有两行相同时，行列式的值为0。
同时，我们也得到了：
加和变换不改变行列式的值。
事实上，对于加和变换的推导，还可以拓宽一些。如果我们让被加到某一行上的不是另一行的元素，而是随便的元素构成的一个行，那么，我们就能得到：
其中，A与B除了第k行的元素以外其他行的元素都相同。
利用这两条性质，我们就能得到：
倍加变换不改变行列式的值。（倍加变换就是将矩阵的某一行的k倍加到另一行上去。）
（命题1）
至此，我们就得到了一个十分便于我们计算行列式的结论：
在至多相差一个倍数的情况下，初等行变换不改变行列式的值。
这样的话，我们就可以尝试去将行列式对应的方阵变换为行阶梯形矩阵，从而直接得出行列式的值。这样，我们就大大简化了行列式的计算复杂度。
因此，我们就得到了第一种计算行列式的简化方法：
通过初等行变换将行列式变为上三角形行列式。
2.4 行列式按一行（列）展开
我们接下来来介绍行列式的另一种简化计算方法。
我们还是来研究一下行列式的定义。从排列的角度来看，对于n个数而言，排列数为n!。仔细回顾对排列数的推导，我们就能知道，实际上，我们是先选择了一个数置于一位，然后再再剩下的n-1个数当中选择一个置于二位，以此类推，则得到了排列数的结果。也就是说，实际上排列数本身应该具有一定的递推关系。[n!=n(n-1)!]
这启示我们，实际上对于n阶行列式而言，或许我们可以通过类似的方式来将行列式降阶。
我们的想法是，对于n阶行列式而言，我们可以通过固定某n个元素的方式（相当于在排列当中固定了n个元素的存在，此时对于每个元素而言，剩下的排列总数都为(n-1)!），研究含这n个元素的所有乘积项，从而将其分成n类，研究每一类的结果。
想要操作这样一种方法，首先的一点就是，这n个元素处于什么样的位置上比较好。如果我们能将这n!个乘积项分成n类，则这n个元素是不能重复的。同时，这n个元素中的任意两个都不能出现在同一乘积项中，否则对于这样的乘积项我们无法分类。
通过上面的分析，我们很容易得到，这n个元素要么位于同一行，要么位于同一列。很显然，位于同一行（列）里的元素不可能出现在同一个乘积项当中；而同时，如果这两个元素不位于同一行（列）当中，就一定会存在至少一个排列使得二者位于同一个乘积项当中。
弄明白了这一点，我们就可以来研究，降阶的具体操作如何了（以第一行为例来推导）：
将每行对应的元素提出，就得到了：
不难注意到，等号右侧的括号内部也包含了一个行列式的形式，只是我们并不清楚逆序数之间的关系。实际上，逆序数之间无非就两种关系形式：
现在的问题是，如何确定k与m之间的关系。
我们可以对做一些简单的分析，就能够将这个问题毫无疑问地弄明白。
逆序数的定义是排列中逆序对的数目。对于一位为1的排列，1的存在本身并不影响后面的n-1个数的排列的逆序数（因为1最小，在最前面不提供任何逆序对）；如果一位为2，那么说明后面的排列当中一定有1存在，而其他数都要大于2，因此2会提供一个逆序数，将2去掉就会使得后面的排列相较于原排列损失一个逆序数。以此类推，我们就不难发现有：
将其代入推导出来的式子，我们就能得到：
这时，括号内部的求和项就是一个新的行列式，它是除去第一行和第k列的所有元素不改变位置所形成的降一阶的方阵的行列式。我们称除去某一元素所在行与列的全部元素后，将剩余元素不改变相对位置地组合成的新的方阵的行列式为该元素的余子式，记作。
于是，此时行列式又可以写成：
现在，我们将第一行推广到任意一行（记为第i行），那么对应地，推导式应该变成：
通过我们前面介绍过的有关交换与对换对逆序数的影响，我们能够很轻松的推导出来：
再利用我们刚刚讨论出来的结果，就有：
代入推导式，就得到了：
为了形式上的整齐性，同时便于记忆与计算，我们取+(i-1)，得到：
我们记：
称之为第i行第k列的元素的代数余子式，则行列式又可以被表达为：
事实上，当我们就第一行证明了展开式以后，由于我们前面提到对换（交换是一种特殊的对换）行列式的两行，行列式变号，所以我们就可以经过i-1次交换将第i行交换到第1行，于是证明自然完成了；而对于列展开的证明，由于我们提到过方阵的转置并不影响行列式的值，因此我们可以将方阵做转置，将原本的列转置成行，那么证明也就完成了。
我们可以看到，这样的展开实际上是将一个n阶行列式展开成了n个n-1阶的行列式，实现了行列式的降阶。这一展开公式称为行列式的按一行（列）展开公式。
降阶的意义何在呢？实际上，对于某些形式特殊的行列式，由于其原本的形式与代数余子式的形式十分类似，于是我们就可以通过一些构造技巧将二者转化为同形式的行列式，使得二者只有阶数不同。此时，按一行（列）展开公式实质上就提供了一个递推公式，这样很多计算都可以被简化掉。此时，我们有很多方式可以利用来计算行列式，比如说利用数学归纳法等。
这就是行列式的第二种简化计算方法。
利用行列式的按一行（列）展开公式，我们就能够得到：
只需要利用“有两行相同的行列式的值为0。”这一结论即可。
至此，我们就将行列式的简化计算方法的基本思想全部介绍完了。
作为应用，我们来介绍一个定理——Cramer法则。
我们知道，对于线性方程组而言，只有当系数矩阵经过化简之后得到的行阶梯形矩阵全都是非零行时，方程组才有可能有唯一解；否则，方程组无解或者有无穷多组解。特别地，由于齐次线性方程组一定有零解，所以当系数矩阵化简出零行时，齐次线性方程组一定是有无穷多组解的。
我们提到过，对于n阶方阵而言，行阶梯形矩阵一定是上三角形矩阵，所以这就相当于是在说：
（1）n阶n元线性方程组有唯一解的充分必要条件为其系数矩阵的行列式不为0；
（2）n阶n元齐次线性方程组有无穷多组解的充分必要条件为其系数矩阵的行列式为0。
现在的问题是，对于一般的线性方程组，如果我们判断出了它有唯一解，那么，我们能否用一种固定的方式程序化地求出这一解呢？
我们前面提到过初等变换法取求解，但是很多时候变换的具体操作是因人而异的。直觉敏锐的人可能很快就找到了合适的变换路径，但是可能也有一些人哪怕按部就班地去操作也很难有效地解出方程组的解。我们现在就是想寻求一个公式，只需要代入某些参数，就可以直接机械地计算出结果，这样能够为一部分人提供便利。
仔细观察线性方程组的形式，我们不难发现（只以一行为例），当我们令：
时，就应有：
于是我们做这样的变换：
看起来，我们已经找到了一个比较好的结果了。但事实上，由于所有行的变元都是同样的n个变量，这使得对于第一行成立的结果对于其他行就不一定成立。但是，我们可以发现，对于目前赋值后的各个变元而言，有：
于是，我们做一个新的赋值，令：
这就得到了：
于是，我们就得到了一个求解线性方程组唯一解的公式。
由于是一个列无关的量，同时在解的通式当中也不存在对列序数的操作，因此我们可以人为地给
附一个同样的列序数，即：
通式当中的分子可以被看做是一个行列式an一列展开的结果，于是，Cramer法则也可以叙述成：
有唯一解的线性方程组，它的某个变元的解等于用常数列替换系数矩阵中第j列所得到的矩阵的行列式与原系数矩阵的行列式的比值。
思考：
证明命题1；
计算n阶行列式：
计算n阶行列式：
计算n阶行列式：
计算n阶行列式：
（Vandermonde行列式）
证明：
其中，有：
利用Cramer法则讨论专栏（二）思考4中的方程组是否有解，并就解的形式进一步讨论a的取值。
みんながすべてマスターすることができることを望み ます！
