【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep40】数列性质一小波攻势~
我们在Ep37聊过，我们按照汤加凤老师的说法，将收敛数列，即有有限极限的数列的性质分为三大类——
基本性质——就是我们直接从数列极限定义可以推理出来的性质；
运算性质——我们意识到数列的本质是一种特殊的运算，既然每一个收敛数列对应一个确定的数字，那么我们自然会想到数列能不能进行实数的加减乘除等运算；
有没有发现，仿佛收敛数列也可以定义实数？——没错，这就是柯西定义实数的思路，将极限相同的数列视为一类，然后每一类数列就与实数实现了一一对应；
所以，收敛数列的运算性质，也可以看作是对实数这个定义合理性的验证；
存在性质——又叫做数列收敛的判别法，就是判断数列收敛的依据。
我们之前聊过了第1类，今天我们就先介绍第2、3类中最基本也最出名的内容，明天就开始进入收敛数列的运算性质了。
关于第3类性质中，在数列极限习题中用得最多最有名的一条定理被称为——“夹逼准则”或者“夹击准则”，某些东北985数分教材也把这个定理叫做“夹挤准则”——Emmm，你们开心就好！
书上是先介绍了两个关于“极限”的序的引理——
28对等式及不等式取极限
1.关于两个各项相等的数列{an}，{bn}——
对数列{an}，{bn}，对任意n，都有an=bn，若an极限为a，bn极限为b，则a=b——
显然，{an}，{bn}即为同一数列，有数列极限的唯一性，可得。
注意：其实只要存在一个N，当n>N时，满足an=bn，即可得到这两个数列极限相等，我们只需要取cn=an+N，dn=bn+N，再结合上述性质和数列极限的定义，即可证。
2.关于两个数列各项都满足某特定不等关系——
对数列{an}，{bn}，对任意n，都有an>=bn，若an极限为a，bn极限为b，则a>=b——
书上给出的证明用反证法——
若b<a；
an极限为a，即，对任意小数e>0，存在自然数N1，当n>N1时，|an-a|<e，即a-e<an<a+e；
bn极限为b，即，对任意小数e>0，存在自然数N2，当n>N2时，|bn-b|<e，即b-e<bn<b+e；
令N=max{N1，N2}，令e<（a-b）/2，由2、3，当n>N时，bn<b+e<b+（a-b）/2=（a+b）/2=a-（a-b）/2<a-e<an，即bn<an；
与条件中an>=bn矛盾，得证。
由此，得出了两个推论——
可以对不等号两端的数列进行极限运算；
同理可以对出对小于号也具有类似的性质。
接着就引出了重要的“夹逼准则”——
对于三个不同的数列{an}，{bn}，{cn}，对于任意n，都满足an<=bn<=cn，如果an和cn的极限都是a，那么bn的极限也是a。
an极限为a，即，对任意小数e>0，存在自然数N1，当n>N1时，|an-a|<e，即a-e<an<a+e；
cn极限为a，即，对任意小数e>0，存在自然数N2，当n>N2时，|cn-a|<e，即a-e<cn<a+e；
所以，令N=max{N1，N2}，当n>N时，a-e<an<bn<cn<a+e，即|bn-a|<e；
数列{bn}的极限也为a。
“夹逼原理”的一种特殊情况——
即把较大或者较小的那个数列变成常数列即可。
下一节，介绍了几个关于无穷小的定理，也可以看作是“数列运算性质的引理”——
29关于无穷小的预备定理
首先给出了数列加法的定义——
数列加法——即对应各项依次相加得出的和，作为和数列的该项。
类似的，也可以定义数列的乘法——即对应各项依次相乘得出的积，作为积数列的该项。
为了得到收敛数列的运算律，给出了两个关于无穷小的引理——
1.有限个无穷小的和还是无穷小
我们给出M项无穷小的和的证明，我们记各个数列为{a1n}，{a2n}，……，{aMn}——
数列{a1n}是无穷小，即，对任意小数e>0，存在自然数N1，当n>N1时，|a1n|<e/M；
数列{a2n}是无穷小，即，对任意小数e>0，存在自然数N2，当n>N2时，|a2n|<e/M；
……；
……
数列{aMn}是无穷小，即，对任意小数e>0，存在自然数NM，当n>NM时，|aMn|<e/M；
令N=max{N1，N2，……，NM}，当n>N时，即有|a1n+a2n+……+aMn|<=|a1n|+|a2n|+……+|aMn|<e，得证。
2.有界数列乘以无穷小的积还是无穷小
这一条引理在后面定积分性质里面很常用，由有界数列和收敛数列的定义即可导出——
有界数列{xn}，即对任意n，存在M>0，|xn|<=M；
无穷小{an}，即，对任意小数e>0，存在自然数N，当n>N时，|an|<e/M；
由1、2，对n>N，|xnan|<|xn||an|<M*（e/M）=e，得证。
明天我们就来聊运算性质！
