罗尔中值定理

牛顿367、罗尔中值定理

 

 2014-03-20，网友“医者仁心326”上传名为《不定积分的概念和性质》的文档。

…不，定，积、分、积分，定积分，不定积分：见《牛顿353~364》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

文档内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

定理1 若F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）就是f（x）在I上的原函数的全体。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

 

证明

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

设Φ（x）是f（x）在I上的任意一个原函数[即对任一x∈I，都有：Φ’（x）=f（x）]，则：

[Φ（x）-F（x）]’=Φ’（x）-F’（x）=f（x）-f（x）=0

“此处运用了求导法则，函数和的导数 等于各个函数的导数的和。”现代学者说。

…Φ：第21个希腊字母。读音：fài…见《牛顿359》…

…求导法则：见《牛顿366》…

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

 

由拉格朗日中值定理的推论可知，Φ（x）-F（x）=C或Φ（x）=F（x）+C，其中C为常数。

…值：见《欧几里得74》…

…推、论、推论：见《欧几里得66》…

拉格朗日中值定理（百度百科）：又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

…微、分、微分：见《牛顿321~336》…

…学：见《欧几里得4》…

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…反、映、反映：见《欧几里得22》…

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

…率：见《欧几里得58》…

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

罗尔中值定理（百度百科）：罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

 

罗尔定理描述如下：

如果R上的函数f（x）满足以下条件：（1）在闭区间 [a，b] 上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b）。

则至少存在一个ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

…R：Real number（实数）首字母，这里表示实数…

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

证明：因为函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数f（x）在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

（常数的导数是0。

证明见《牛顿333》。）

 

2. 若M>m，则因为f（a）=f（b）使得最大值M与最小值m至少有一个在（a，b）内某点ξ处取得，从而ξ是f（x）的极值点。

又条件f（x）在开区间（a，b）内可导，得：f（x）在 ξ 处取得极值。

由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'（ξ）=0。

“驻：

本义是停留在一个地方。如：驻足、驻颜（让颜貌停留，不使衰老）。

请看下集《牛顿368、驻点：函数导数为0的点》”

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