代数学基本定理？——2023上海春季高考21题解析

前言：up主抑郁症复发，病情严重，只能休学在家（嘤嘤嘤）。为了避免自己无聊就开始研究数学（其实是在准备复读）。在趁打折购买了《金考卷特快专递第6期（新高考）》之后，发现上面的2023上海春季高考21题非常有意思，自己也想出了一种比较奇特的解法。现就这种解法分享如下。

题目和手稿：

分析：材料中给出了两个函数f(x)和g(x)，并定义了“控制函数”的概念，即若f(x)≤g(x)，则g(x)为f(x)的“控制函数”，还定义了一个“最小值函数”f⁻(x)=inf{g(x): g(x)为f(x)的控制函数}。这样的新定义问题一上来非常吓人，所以在不能理解定义的时候不妨先看题，从题目中理解。

第(1)问给定了f(x)和g(x)，需要判断g(x)是否为“控制函数”。直接代入定义中，就可以得到一个证明不等式的问题，求导证明即可。

第(2)问实质上也给定了f(x)和g(x)，参照上一问的方法判断即可。至于求f⁻(¼)的值的话，由于f(x)和g(x)相切，可以直接根据定义代入g(x)即可。

第(3)问由于up主不擅长复杂的计算，于是采用了一种比较离奇的方法。（以下涉及一些超出高考要求的数学知识）直觉上，应该可以判断出题中的切线就是一个“控制函数”，接下来尝试使用前两问的类似方法证明这一点。

在排除了a为0的情况后，利用上图的构造可以得出j(x)是一个三次多项式，j(x)=0应该有三个根（代数学基本定理）。由上可以判断出x=x₀是j(x)的一个二重根，所以可以因式分解j(x)如下：

至此已经证明i(x)就是一个“控制函数”，则充分性已经被证明，接下来证明必要性的过程采用反证法即可。

附上金考卷的参考答案

评价：解答这个题目的关键点在于准确理解材料中“控制函数”的意义，这样即可直接拿下前两问。至于第三问，我的想法比较奇特，所以也欢迎有其它想法的读者一起交流。

祝大家学习进步！

By Dr.MRN(F)

2023.3.29