自适应鲁棒滑模控制原理

2022-10-05 00:50 作者:学海行舟 0人读过 | 我要投稿

通过前面博文的介绍，我们了解了滑模控制的基本原理及其在电力电子中的应用，并对简单的鲁棒滑模控制进行了介绍。在本文中我们在考虑系统不确定项的基础上，进一步考虑了系统中某些参数未知的情况，并通过设计自适应鲁棒滑模控制使得系统达到很好的动态特性。

首先，我们考虑如下机械系统。

$%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cfrac%7Bdx_1%7D%7Bdt%7D%3Dx_2%5C%5C%0A%26%5Ctheta%5Cfrac%7Bdx_2%7D%7Bdt%7D%3Du(t)%2B%5CDelta%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

其中， $%5Ctheta$ 表示的是未知的转动惯量，且为大于零的常数，而 $%5CDelta$ 表示包括模型不确定项和干扰的总和。

在进行自适应鲁棒滑模设计前，我们需要给出一定的假设条件，给出的假设条件如下：

假设1：不确定参数 $%5Ctheta$ 具有上下界，且可以表示为

$0%5Cle%20%5Ctheta_%7Bmin%7D%20%5Cle%20%5Ctheta%20%5Cle%20%5Ctheta_%7Bmax%7D$

假设2：不确定项有界，且满足下面的条件

$%7C%5CDelta%7C%5Cle%20D$

我们设计如下滑模面

$s%3D%5Cdot%7Be%7D%2Bce%3D%5Cdot%7Bx_d%7D-x_2%2Bce$

其中， $x_d$ 表示期望的位置信号， $e%3Dx_d-x_1$ 表示位置的跟踪误差， $c%3E0$ 。

则有

$%5Ctheta%20%5Cdot%7Bs%7D%3D%5Ctheta(%5Cdot%7Bx_d%7D-x_2%2Bce)$

我们取 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 为 $%5Ctheta$ 的估计值，则定义李雅普诺夫函数为

$V%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%20s%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cgamma%7D%7B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%7D%5E2$

其中， $%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%3D%5Ctheta-%5Chat%7B%5Ctheta%7D%2C%5Cgamma%3E0$

对上述函数求导可得

$%5Cdot%7BV%7D%3D%5Ctheta%20s%5Cdot%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%7B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%7D%5Cdot%7B%7B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%7D%7D%3Ds%5Ctheta(%5Cddot%7Bx_d%7D-%5Cdot%7Bx_2%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D$

$%3Ds(-u-%5CDelta%2B%5Ctheta%20%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Ctheta%5Cdot%7Be%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D$

本文我们设计指数趋近率，则控制率可以设计为

$u%3D%5Chat%7B%5Ctheta%7D(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-ks-%5Ceta%20sign(s)$

将控制率带入到 $%5Cdot%7BV%7D$ 的表达式则有

$%5Cdot%7BV%7D%3Ds%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-ks%5E2-%5Ceta%7Cs%7C-s%5CDelta-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D$

$%3D-ks%5E2-%5Ceta%7Cs%7C-s%5CDelta%2B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Bs(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D%5D$

则自适应率可以设计为

$%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D%3Ds%5Cgamma(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)$

则

$%5Cdot%7BV%7D%3D-ks%5E2-%5Ceta%7Cs%7C-s%5CDelta%20%5Cle%20-ks%5E2%20%5Cle%200$

由于仅当 $s%3D0$ 时， $%5Cdot%7BV%7D%3D0$ 。则根据LaSalle不变性原理，则闭环系统是渐进稳定的，则当t趋于无穷时，s会趋于0。系统的收敛速度与k相关。

值得注意的是，上述条件表明t趋于无穷时V是由界的，同时也能表明 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 是有界的，但无法保证 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 会趋于 $%5Ctheta$ 。根据LaSalle不变性原理，当t趋于无穷时s会趋于0，但是无法保证 $%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D$ 趋于0。为了防止 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 过大而造成控制输入u(t)过大或者出现 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%20%5Cle%200$ 的情况，需要通过自适应率的设计使得 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 的变化在 $%5B%5Ctheta_%7Bmin%7D%20%5Cquad%5Ctheta_%7Bmax%7D%5D%20$ ，可采用一种自适应映射算法，则自适应可以修正为

$%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D%3DProj(s%5Cgamma(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D))$

$%5Cbegin%7Bequation%7D%0AProj(.)%3D%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%260%20%5Cquad%20if%20%5C%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%5Cge%20%5Ctheta_%7Bmax%7D%20%5C%20and%20.%3E0%20%5C%5C%0A%260%20%5Cquad%20if%20%5C%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%5Cle%20%5Ctheta_%7Bmin%7D%20%5C%20and%20.%3C0%20%5C%5C%0A%26%20.%20%5Cquad%20otherwise%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$