皮亚诺公理系统

1，0属于自然数

2，每一个自然数a,都有一个确定的后继数a'，aa'也是自然数。

3，0不是任何数的后继数。

4，不同的自然数有不同的后继数。

5，若M是N(自然数集)的子集，且满足(1),0∈M.(2)，若n∈M,则n'∈M。则M=N。

(归纳公理)

加法定义

1，0+n=n

2，n'＋m=(n+m)'

乘法定义

1，0×n=0

2，n'×m=n×m+m

由这些公理，可以推出一切关于自然数性质，例如，加法乘法的运算律等等。

最后，对1+1=2的证明：

1+1=0'+1

       =(0+1)'

       =1'

       = 2