三角函数举例：换元法的解释

有两个函数：

它们是两个相同的函数，因为它们定义域和函数表达式相同。

而根据换元的思想，又表达为其他函数：

如：  

 

2x-π/2是我随便写的，也可以表示成其它的表达式，如3x+π/2等等。

这时要注意sin(2x-π/2)的定义域。

为什么可以用换元思想表达为其它表达式呢，换元后的定义域又是怎么样的呢？

 

首先f(t)= sint,t∈[0,2π]，它所表示的是集合A到集合B间的映射，

这里用集合A表示[0,2π]的数值，用集合B表示[-1，1]间的数值。

 

集合A可以这么写：

（用………表示两个数值之间内的实数）

而集合B则为：

所以，集合A和集合B的对应法则为：

 

集合A也可以表示为：

 

因为集合里的各个元素，计算后的区间为[0,2π]，根据集合的三个性质，它依然是集合A。

而集合B不变则为：

所以，这时集合A和集合B的对应法则为：

可以看到，上面仅是将集合A里面的每一个元素，用不同的表达式表示，就改变了函数的表达式，定义域也改变了。

这里的x，就是函数的定义域，因为定义域的取值正确，集合A里的元素没有改变，再然后集合B也没有变，所以函数是成立的，所以定义域的范围，决定了集合的范围，如果定义域取的不对，则就改变了集合A，函数就不成立了。

 

故而，要使用换元法，一定要使集合A的元素不变才行，这就需要限定元素表达式的范围，

就是通过定义域来限定的。

另外，开头提到：

 

因为这两个函数定义域一样，再次函数表达式是一样的，有了这两个前提，f(t)和f(x)其实是一样的函数。

因而，如果疑惑于换元法的将f(t)变为f(x)的最后一步，是因上面的原因。

综上，换元法是对一个集合里的元素的表达方式的改变，随着带来的定义域和函数表达式的改变。

个人总结，如有错误，待音。