希尔伯特《几何基础》中的五组公理

      话说在十九世纪末，非欧几何已经建立，并受到广泛承认。非欧几何的创立使数学家开始重新审视欧氏几何，发现欧氏几何的问题不在第五公设，而在于它的逻辑体系还有残缺之处。例如，它的公理严重不足，以至于后来的有些证明要么暗含了其他结论，要么借助直观。并且有些所谓“公理”并非不证自明，而是可以从其他公理推出的(例如所有的直角都相等)。

       在这种背景下，德国数学家希尔伯特在1889年出版了《几何基础》，在这部著作中，希尔伯特创立了一个新公理系统(史称“希尔伯特公理系统”)。他从叙述20条公理开始，其中涉及六个本原概念(作为元素的点、线、面和它们之间的三种关系“关联于”、“介于”、“全等于”)和五类公理，分别处理关联、顺序、全等、平行和连续性。

        这部书的贡献不仅仅是创造了一个公理体系，还详细地论证了这些公理体系的完备性、相容性和独立性，这一点大大突破了原有的几何体系，是对几何研究的新突破。 

       这部著作使希尔伯特确立了“形式主义领军人物”的地位，他的工作大大加强了数学公理化的传统，把数学进程推向更加抽象的方面。

附录：五组公理

第一组：关联公理

1，过两点有一条直线。

2，过两点最多有一条直线。

3，一条直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上。

4，不过同一直线三点在一平面上，一平面上至少有一点。

5，不过同一直线三点在至多一平面上。

6，若一条直线上有两点在一平面上，则这条直线每一点都在这平面上。

7，两个平面若有交点A，则至少还有一交点B。

8，至少有四点不在同一平面上。

第二组，顺序公理

1，若点B介于A,C两点，则这三点共线，且点B也介于C,A两点。

2，直线上两点A,B，至少有一点C，使得B介于A,C两点。

3，直线上三点中，至多有一点介于另外两点之间。

4，若有一直线与一三角形的一边交于非端点处，则这条直线也与三角形的另外两边之一相交。

第三组，合同（相等，全等）公理

1，设有一线段AB和另一点A’，必有一点B‘，使得AB与A'B'合同，即AB=A'B'。

2，若两线段与第三条线段相等，则它们彼此相等。

3，一条直线上依次有三点A,B,C，另一条依次有三点A’B'C'，若AB=A'B'，BC=B'C'，则AC=A'C'

4，设有一角和一条射线，则有共端点的另一条射线使得两条射线组成的角与原角相等。

5，若两三角形的两边和两边夹角相等（SAS），则它另外两角也有一角相等。

第四组，平行公理

过直线外一点，至多有一条直线与已知直线平行。

第五组，完备公理

1，有两条线段AB,CD，必存在一个正整数n，使得AB>n*CD（阿基米德公理）。

2，不可能在直线上添加一点，使得原来的元素，和它们由1,2,3组公理、阿基米德公理所推出的一切性质关系不变。

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