“法弦”的最小值（2023新高考Ⅰ圆锥曲线）
在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
的距离，记动点
.
（1）求
（2）已知矩形
有三个顶点在
.
解：（1）设点的坐标为
，由题可知：
，
化简得：.
（2）不妨设、
、
在
上，设
的坐标为
，
设直线、
的斜率分别为
、
，不妨设
，
且易知.
直线的方程为
，
与联立得：
，
故，故
同理：.
所以：
令
其中
，
则
当，
；
当，
，
故.
令，
，
则.
令，得
，
当，
，
；
当，
，
，
故.
（此即图中弦长度的最小值）.
故矩形的周长大于
.
此题中的不等式链：
.
之所以不能等于
是因为：
、
都不能为
.
下个新定义：
我们把过抛物线上一点
，且与
处的切线垂直的弦
，叫做抛物线的法弦，并且一般地，法弦长
，
当且仅当时，取得最小值.
