《几何原本》命题1.16【夸克欧氏几何】

命题1.16：

在任意三角形中，延长任意一边，所成的外角大于任意一个不相邻的内角

已知：△ABC，延长BC至点D

（公设1.2）

求证：∠ACD＞∠CBA，∠ACD＞∠BAC

解：

取AC的中点E

（命题1.10）

连接BE，并延长

（公设1.1＆1.2）

在BE延长线上取一点F，使EF=BE

（命题1.3）

连接FC

（公设1.1）

延长AC至点G

（公设1.2）

证：

∵∠AFB和∠FEC是对顶角

（已知）

∴∠AEB=∠FEC

（命题1.15）

∵AE=CE，BE=EF

（已知）

∴△ABE≌△CFE，∠BAE=∠ECF

（命题1.4）

∵∠ECD＞∠ECF

（公理1.5）

∴△ABC的外角∠ECD＞∠BAE

（公理1.1）

同理，作BC中点可证∠BCG＞∠ABC

∵∠ECD=∠BCG

（命题1.15）

∴△ABC的外角∠ECD＞∠ABC

证毕

此命题将在下两个命题中被使用

   PS：在命题1.32中欧几里得调用平行公设（公设1.5），再次证明，完善了该命题