恒正的极大值（2020课标Ⅲ（文）导数）

2022-09-26 22:20 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2020课标Ⅲ文，20）已知函数 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Dx%5E3-kx%2Bk%5E2$ .

（1）讨论 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的单调性；

（2）若 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围.

解：（1） $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D3x%5E2-k$ ，

1.若 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%5Cleqslant%200%7D$ ，则 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%200$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ；

2.若 $k%3E0$ ，令 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得

$x%3D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D$ ，或 $x%3D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D$ ，

当 $x%5Cin%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%20%7D$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ；

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D%2C%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%20%7D$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ；

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ .

（2）由（1）可知，若 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%5Cleqslant%200%7D$ ，

$f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 最多仅有一个零点，不合题意；

若 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%3E0%7D$ ，

则可知 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的极大值

$f%5Cleft(%20-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%20%3Ef%5Cleft(0%5Cright)%20%3Dk%5E2%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ，

而 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的极小值为

$f%5Cleft(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%20%3Dk%5Csqrt%7Bk%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7Bk%7D-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B9%7D%7D%20%5Cright)%20$ ，