科联基地理科向内容讲课记录原案

 整理者：中科联-磁阻教主，幻科联-硅基。

【小A：因为本期的内容是以讲课的形式放送的，所以各位就把自己当做旁听学生或者是蹲在门口的教导主任吧……】

 讲课记录：

老师[请叫我撒比先生]（略显兴奋地）：

各位同学们吼蛙！现在开始上课！今天这节课我们来讲一下有关于集合和函数的一些基础内容，大家有没有事先预习一下蛙？

 

全体同学[双头龙的咆哮(A，拘留所出来(B，哉阿斯奥特曼(C，250一号在路上（D，]（异口同声地）：

老师好！没有预习！

 

老师（强忍尴尬）：

那我就开始讲课了……

首先从逻辑上江，我们要去了解集合论先驱者的工作,那就要先忘掉模糊不清的概念,知道相当于最基础的命题:

a∈A

即可。

 

那有没有同学知道如何只用集合语言描述两个集合内元素的关系呢？

全体同学：【死一样的沉默】

老师（继续强忍尴尬）：

好吧，我们的初高中课本上已经介绍过了函数关系，但是对“对应关系”这一概念的解释却依然不明不白.为了联系两个集合，我们需要引进一个叫“序对”的新玩意：

用集合描述为：

｛（a，b）|a∈A，b∈B｝

 称之为有序，是因为一般

（a，b）≠（b，a）

数学家将其称之为AB的直积或笛卡尔积

如果知道平面直角坐标系的别名叫笛卡儿坐标系的话，就能理解这个名字了

利用A×B这个集合，我们就把两个集合间元素关系变成了一个集合中元素的关系，两个元素间有且只有两种可能，要么有某种“关系”，要么没有某种“关系”
那哪位同学可以仅考虑集合语言，说一说这个和集合里哪种关系类似呢？

学生D（迷惑）：

×是指什么？

老师（耐心解释到）：

用集合描述为：

｛（a，b）|a∈A，b∈B｝

这个就是A×B,一个新集合。

学生A（补充）：

叫作原来两个集合的直积，

可以看作原空间维数的一个扩大。

老师（略显兴奋）：

比如两根直线的笛卡尔积可以描述一个平面，

平面与直线的笛卡尔积可以描述空间。

老师（平静了一下）：

你看A×B的元素形式

（a，b）

a是用A中一个元素决定的，b是由B中一个元素决定的，并且直线可以用集合描述，反之不可。而平面上一点也由x轴上一个值，y轴上一个值描述。这样，两个元素就变成一个元素（序对）了，很好理解吧？
此时a与b有且只有两种可能，要么有关系R，要么没有关系R。
哪又有谁可以告诉我这个可以类比成元素（a，b）在A×B中哪个形式呢？

 

学生D（再次迷惑）：

老师，R是什么东西？

 

老师：

比如等于关系，平行关系，不是写成

a＝b

a∥b

么？

R就是表示其中关系的那个符号。

学生B（突然）：

R是指relation吧？

老师：

是的，所以有无关系就可以看作在某个A×B的某个子集里。

学生A（自言自语道）：

a∈A b∈B?

老师：

因为一个元素，要么属于一个子集，要么不属于。

现在我们可以宣称：

aRb（就是a与b有关系R）

等价于（a，b）∈S，S⊂A×B

学生D（持续迷惑）：

S又是个啥玩意?

老师：

S是一个集合：set。

老师（顿了一下）：

那么现在进入举例子阶段：
设X是一个平面上所有的直线的集合。

X²（也就是X×X）

里选出所有两两平行的直线构成一个子集，

a∥b，等价于（a，b）∈这个子集，

实数R，在R²中选出a≤b的所有情况。
构成序对（a，b）（固定a左边，b右边），序对组成的子集也对应这个比较大小的关系。

老师（吸了口气）：

不过搞这个恶心的概念，不仅仅是集合论学者的需求，也是为了恶心学生的，也是为了将各种关系抽象出来。

上面就是两种常见关系——等价关系和偏序关系

像等价类，同余类，函数芽全都是这样来的。

老师（划重点）：

尤其是偏序！

 

学生A（疑问）：

等价是指:一个集合属于另一个集合?

偏序:由大小决定（a，b）?

学生A（追问）：

集合（a，b）取决于a与b的大小?

这些概念是指什么？

老师（板书中）：

等价关系：
aRa（反身性）
若aRb，则bRa（对称性）
若aRb，bRc则aRc（传递性）

偏序关系：
aRa（反身性）
若aRb，bRc，则aRc（传递性）
若aRb，bRa，则a＝b（反对称性）

学生A（穷追不舍）：

话说R不仅指位置还有位置关系?

老师（划重点）：

因为这两个关系的建立不依赖集合的类型，所以可以独立得出性质。同时以后只需要证明某个关系是哪种关系，所需要的性质就可以直接用。

学生D（略加思索）：

等价和偏序我怎么就看出一个区别……

 

老师（接着之前的重点）：

当然了，因为aRb本质上就是

（a，b）∈S⊂A×B

老师（回答）：

因为就是只有一个区别

学生D（做笔记中）：

还行……

学生C（迷惑）：

反对称性不是很懂……

老师（解释）：

a≥b，b≥a，则a＝b

学生D（提问）：

确立关系三个条件要同时满足吗？

老师（解释）：

把关系进行分类就需要同时满足。

那么来一个无奖竞猜：问函数关系的定义是？

学生B（不确定）：

自变量因变量什么的。

老师：

说起来你们听过那个数学家烧水的故事就知道这个了吧……

学生A（不自信）：

y y∈某关系式?

老师：

就是初高中都强调的，一个自变量只能对应一个因变量，对应关系就是函数关系的意思。

学生D（插嘴）：

一个x只能对应一个y呗。

老师（进一步解释）：

也就是指：

若xRy1，xRy2，那么只能y1＝y2

这就是函数关系的定义，纯用集合论语言，没有含糊不清的“对应关系”。

学生D：

y1y2必须相等。

学生B（小声BB）：

（你直接说单射不就完了……

老师（纠正）：

单射是反过来

x1Ry，x2Ry，则x1＝x2。

这个才是单射......

其实偏序关系所要求的还不多，它并没有要求两两元素一定可以比较大小。

而像实数这样两两一定可以比较大小（序）的就叫线性序集。于是就可以把“这又没有可比性”说成“这又不是线性序集”（雾）

上面这个小概念虽然大多只在数学层面出现得多
但是仔细观察生活中的集合/事物，很多关系都可以归类于那三种关系。
即使没什么用......也很无聊......但是其中渗透了两个重要的数学思想。
比如世界杯比赛就是个偏序集，但不是个线性序集。

学生C（疑问）：

为什么这么说呢？

 

老师（解释）：

因为比赛要么A打败或战平B，要么反之。

学生B：

偏序就是为了比较大小而产生的……

路人（插嘴）：

而到了淘汰赛就没有平的可能了。

老师（开始举例）：

韩国战胜德国，中国战胜韩国，但是中国和德国没有建立偏序关系，所以不能由传递性得到中国战胜德国。（没有传递性）

战胜或战平，择一即可
这两个思想，一个是抽象化，一个是相似性
抽象就是把本质拿出来，这样或许有点抽象。
这个就像剃刀一样，剔除不重要/不必要的东西
比如等价关系大多都是这样。

 

老师（喝了口水）：

举个栗子......我想想……
7除3余1，1除3余1
在研究一个数能否被三整除时，在加减乘除运算中，7和1都是一样的。
所以它们在同一个“同余类”，也就是那个子集。
向量也是，数学里的向量不规定起点，因为对于平行和垂直关系来说，它们都是等价的。所有归于同一个向量，向量也可以看作一个同余类。

路人2：

比如说我是sb，同学某也是sb，我们两个也可以……

老师（没有理会）：

第二个相似......就是很迷的东西了，一个强悍的数学家能在完全没有联系的东西上找出相似性。

学生A（疑问）：

同余类是指同一子集吗？

老师（肯定）：

嗯嗯

只是里面的元素，除3余数相同，像伽罗华这样的巨神就能看出五次方程有没有根和五个元素排位置的联系，从而证明了五次方程没有根式解。

你不要问我，我也不知道他怎么做到的。

学生B：

今天的课程结束了吗……

老师：

时间也差不多了，那今天我拿一句话结尾吧：

学习数学，要看出命题与命题的相似，数学研究者，要看出定理与定理间的相似，想要取得一番成就，就要找出学科与学科间的相似，而数学大师，则是在各个领域间发现相似。

同学们，下课！

全体同学：

老师辛苦了！

【结束】

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