很水的微积分003：复合函数
- 特殊的函数
- Dirichlet 函数 （带名字的东西，一定是重要的东西）
- 定义域: \mathbb{R}
- 对应法则: 有理数 rational number \mathbb{Q} 取 1, 无理数 \mathbb{R} \ \mathbb{Q} 取 0
- 德国数学家 Dirichlet，研究傅立叶级数的收敛
- 常规的分段函数，分段出来的定义域都是区间，但所有的有理数的集合并不连续
- 有理数/无理数都具有稠密性：任意两个有理数/无理数之间一定还有有理数/无理数
- 所以 dirichlet 函数图像存在，但画不出来
- Thomae 函数 （俄罗斯/苏联 称为 Riemann 函数）
- 定义域: \mathbb{R}
- 对应法则: 有理数 0 取 1，非 0 有理数 p/q 取 1/q, 无理数 \mathbb{R} \ \mathbb{Q} 取 0
- 其中 q>0, p,q 都是整数，且 p,q 互素
- 有理数总可以写成分数的形式可以通过 等比数列求和公式证明
- 值域是{y= 1/q : q 属于正整数} \cup {0}
- nature number, which are used for counting and ordering. \mathbb{N}
- naturals with zero: $N_0, N^{0}, N^{*} \cup \{0\}, Z_0^{+}, Z_{\ge 0}$
- naturals without zero: $N^{*}, N^{+}, N_0 \setminus \{0\}, N_{1}, Z^{+}, Z_{> 0}$
- 复合函数 composite function（映射的乘法）
- 定义在 D 上的函数 f 和定义在 E 上的函数 g，若 D 的一个子集 D_1 满足 $f(D_1) \subseteq E$，可以得到
- 一个定义在 D 上的函数 $(g \circ f)(x):= g[f(x)], \forall x \in D_1$
- 函数$(g \circ f)$ 是 g 和 f 的复合函数
- 判断复合函数存在条件
- 是否存在$f(D_1) \subseteq E$
- 函数的复合，可以看作一种运算
- 满足结合律：$(f \circ g)\circ h=f \circ (g\circ h)$
- 不满足交换律
- 函数自己和自己可以复合（迭代）
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