回忆童年：对于一元高次方程解法的执着

小时候对于数学的多次方程很感兴趣，也许是从小对高维度空间的向往。一般来说无论义务教育考试还是竞赛，三次或四次方程都是特例形式巧解而不用公式法，甚至有些初中高中老师大言不惭说没有公式。那时候我就自己找有没有公式，还是小学三年级的时候，偶在新华书店找到一本书，但是上面写的很乱，我就记得一个换元和配方，其他的没看懂。然后过了几天之后研究了一下发现了门道。首先自己发现了一些规律，就是你要解一个一元n次方程，就需要同时经历解若干n-1，n-2...1次方程，并且我凭着那天在书上看到的三次和四次都有一个相同的开始步骤，就是设x=y-b/(na)，[对于ax^n+bx^(n-1)+.....+C=0这个一般形式]，开始不是很理解这种做法，后来发现它是为了减少n-1次项，甚至我后来尝试了一下竟然发现所有的高次方程利用这种设法可以得到关于y的缺n-1次项的n次方程(不过好像没什么意义，因为五次以上没有常规代数解法)。然后那时候就自己推导了三次方程和四次方程的公式。今天突然想到很怀念就写了这篇文章。

具体解法如下

3次方程原理：首先用上面那个换元法可以得到一个没有二次项的三次方程，然后可以继续换元设y=A+B，然后两边同时三次方整理成一般式，会发现也是一个缺二次项的三次方程，然后把这个含A、B的系数与原来关于y的三次方程的系数一一对应列出含A、B的二元二次方程，就可以解出A、B两个根，然后再用多次方程根之间的关系再求出第三个根。

4次方程解法原理：首先也是用最开始的那个换元法得到一个没有三次项的四次方程，然后进行整理将四次项和二次项放到等式左边，一次项和常数放到右边，然后额外设置一个含有未知数系数的二次项，方程等式两边同时加这个二次项，然后保证加了这个二次项之后两边都可以同时配成完全平方的形式，根据这个条件求解那个二次项的系数(这个需要求一个三次方程)，然后反代方程中。就可以整理出一个完全平方项等于完全平方项的方程，两边开根，那就只需要解二次方程了。

五次以上好像是被一个日本的学者研究圆锥曲线的时候意外证明了无法用代数解法。