（圆锥曲线）斜率与齐次化

2022-08-21 11:17 作者:因恋相思久 0人读过 | 我要投稿

已知椭圆 $C%EF%BC%9A%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7Ba%5E2%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D1%EF%BC%88a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%EF%BC%89$ 的短轴长为 $2%5Csqrt%7B2%7D%20$ ，离心率为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20$

（1）求椭圆方程 $C$

（2）设椭圆的左右焦点为 $F_%7B1%7D%20%EF%BC%8CF_%7B2%7D%20$ ，左右顶点为A，B，点M，N，D位于椭圆互不相交的三点，其中M，D在x轴的上方，若直线MN过焦点 $F_%7B1%7D%20$ ， $MN%E2%88%A5F_%7B2%7D%20D$ ，记AM，BD的斜率为 $k_%7B1%7D%EF%BC%8C%20k_%7B2%7D%20$ ，且满足 $3k_%7B1%7D%2B2%20k_%7B2%7D%20%3D0$ ，求直线MN方程

（1）由题意得 $b%3D2%5Csqrt%7B2%7D%20$ ， $%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20$ ， $a%5E2%3D%20b%5E2%2B%20c%5E2$

联立解得 $a%3D3%EF%BC%8Cc%3D1$

椭圆方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B9%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B8%7D%20%3D1$

（2）

当直线MN存在时

$%E8%AE%BEM%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%8CN%EF%BC%88x_%7B2%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B2%7D%20%EF%BC%89%E7%9B%B4%E7%BA%BF%EF%BC%9An%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%2Bmy%3D1$

因为 $F_%7B1%7D%20N%E2%88%A5F_%7B2%7D%20D$

根据椭圆的对称性知 $D%EF%BC%88-x_%7B2%7D%20%EF%BC%8C-y_%7B2%7D%20%EF%BC%89$

$%E6%89%80%E4%BB%A5k_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%7D%7B%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%2B3%EF%BC%89%7D%20$ ， $k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D%7D%7B%EF%BC%88x_%7B2%7D%2B3%EF%BC%89%20%7D%20$

下面进行齐次化

$8x%5E2%20%20%2B9y%5E2%20%3D72$

$8%EF%BC%88x%2B3-3%EF%BC%89%5E2%20%20%2B9y%5E2%20%3D72$

$8%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5E2-48%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%20%20%2B9y%5E2%20%3D0$

$8%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5E2-48%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%2Bmy%5D%20%20%2B9y%5E2%20%3D0$

$-16%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5E2-48m%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89y%2B9y%5E2%20%3D0$

所以 $-16-48m%EF%BC%88%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B3%7D%20%EF%BC%89%2B9%EF%BC%88%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B3%7D%20%EF%BC%89%5E2%20%20%3D0$

$k_%7B1%7D%2B%20k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%20%7D%7B%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%2B3%EF%BC%89%7D%2B%20%5Cfrac%7By_%7B2%7D%20%7D%7B%EF%BC%88x_%7B2%7D%2B3%20%EF%BC%89%7D%20%3D%5Cfrac%7B16m%7D%7B3%7D%20%E2%91%A0$

$k_%7B1%7D%20k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%20%20y_%7B2%7D%20%7D%7B%EF%BC%88x_%7B1%7D%2B3%20%EF%BC%89%EF%BC%88x_%7B2%7D%20%2B3%EF%BC%89%7D%20%3D-%5Cfrac%7B16%7D%7B9%7D%20%E2%91%A1$

因为 $3k_%7B1%7D%2B2%20k_%7B2%7D%20%3D0$ ③

①③联立得

$k_%7B1%7D%3D16m%20%EF%BC%8Ck_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B-32m%7D%7B3%7D%20$ ④

②④联立得

$m%5E2%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B96%7D%20$

解得 $m_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20%20%EF%BC%8Cm_%7B2%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%20%7D%7B24%7D%20$

直线MN方程为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0%E6%88%96%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0$

当斜率不存在时

此时 $M%EF%BC%88-1%EF%BC%8C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%EF%BC%89D%EF%BC%881%EF%BC%8C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%EF%BC%89$

$3k_%7B1%7D%20%2B2k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B-1-%EF%BC%88-3%EF%BC%89%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%7D%7B1-3%7D%20%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cneq%200$

与题目条件矛盾

综上，直线MN方程为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0%E6%88%96%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0$

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