2023新高考Ⅰ卷数学逐题解析（2）

2023-06-15 13:04 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：春に横たわって

作画：たん旦

https://www.pixiv.net/artworks/60407193

8. 已知 $%5Csin%7B%5Cleft(%5Calpha-%5Cbeta%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B3%7D$ ， $%5Ccos%7B%5Calpha%7D%5Csin%7B%5Cbeta%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D$ ，则 $%5Ccos%7B%5Cleft(2%5Calpha%2B2%5Cbeta%5Cright)%7D%3D$

A. $%5Cfrac%7B7%7D%7B9%7D$

B. $%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B9%7D$

C. $-%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B9%7D$

D. $-%20%5Cfrac%7B7%7D%20%7B9%7D$

答案 B

解析本题考察三角函数的和差角公式和倍角公式，属于简单题.

$%5Csin%5Cleft(%5Calpha%2B%5Cbeta%5Cright)%3D%5Csin%5Cleft(%5Calpha-%5Cbeta%5Cright)%2B2%5Ccos%5Calpha%5Csin%5Cbeta%3D%5Cfrac%20%7B2%7D%20%7B3%7D$ ，

$%5Ccos%7B%5Cleft(2%5Calpha%2B2%5Cbeta%5Cright)%7D%3D1-2%5Csin%5E2%5Cleft(%5Calpha%2B%5Cbeta%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D$ .

故选：B.

二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分。

9. 有一组样本数据 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ ，其中 $x_1$ 是最小值， $x_6$ 是最大值，则

A. $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的平均数等于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的平均数

B. $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的中位数等于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的中位数

C. $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的标准差不小于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的标准差

D. $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的极差不大于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的极差

答案 BD

解析本题考察统计中的一些数字特征，属于简单题.

A. 记 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的平均数为 $%5Cbar%7Bx%7D$ ， $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的平均数为 $%5Cbar%7By%7D$ ， $x_1%2Cx_6$ 的平均数为 $%5Cbar%7Bz%7D$ ，则

$%5Cbar%7Bx%7D%3D%5Cfrac%20%7B2%7D%20%7B3%7D%20%5Cbar%7By%7D%20%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B3%7D%20%5Cbar%7Bz%7D$

所以 $%5Cbar%7By%7D-%5Cbar%7Bx%7D%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B3%7D%20%5Cleft(%5Cbar%7By%7D-%5Cbar%7Bz%7D%5Cright)$ ，但由于 $%5Cbar%7By%7D$ 与 $%5Cbar%7Bz%7D$ 的大小关系无法判断，故无法判断 $%5Cbar%7By%7D$ 与 $%5Cbar%7Bx%7D$ 的大小关系.

所以A说法不正确.

B. 将 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 升序排列后得到 $x_1%2Cy_2%2Cy_3%2Cy_4%2Cy_5%2Cx_6$ ，则 $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的中位数为 $%5Cfrac%20%7By_3%2By_4%7D%20%7B2%7D$ ， $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的中位数为 $%5Cfrac%20%7By_3%2By_4%7D%20%7B2%7D$ ，所以 $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的中位数等于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的中位数，所以B说法正确.

C. 取 $(x_1%2Cx_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5%2Cx_6)%3D(-1%2C0%2C0%2C0%2C0%2C1)$ ，则 $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的标准差为 $0$ ， $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的标准差大于 $0$ ，此时 $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的标准差小于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的标准差，所以C说法不正确.

D. 将 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 升序排列后得到 $x_1%2Cy_2%2Cy_3%2Cy_4%2Cy_5%2Cx_6$ ，则 $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的极差为 $y_5-y_2$ ， $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的极差为 $x_6-x_1$ ，由于 $y_5%20%5Cleq%20x_6$ 且 $y_2%20%5Cgeq%20x_1$ ，所以 $y_5-y_2%20%5Cleq%20x_6-x_1$ ，所以 $x_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5$ 的极差不大于 $x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_6$ 的极差，所以D说法正确.

故选：BD.

10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_p%3D20%5Ctimes%20%5Clg%5Cfrac%20%7Bp%7D%20%7Bp_0%7D$ ，其中常数 $p_0$ $%5Cleft(p_0%3E0%5Cright)$ 是听觉下限阈值， $p$ 是实际声压，下表为不同声源的声压级：

$%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%E5%A3%B0%E6%BA%90%26%E4%B8%8E%E5%A3%B0%E6%BA%90%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%5Crm%7B%2Fm%7D%26%E5%A3%B0%E5%8E%8B%E7%BA%A7%5Crm%7B%2FdB%7D%5C%5C%20%5Chline%20%E7%87%83%E6%B2%B9%E6%B1%BD%E8%BD%A6%2610%2660%5Csim90%20%5C%5C%20%5Chline%20%E6%B7%B7%E5%90%88%E5%8A%A8%E5%8A%9B%E6%B1%BD%E8%BD%A6%2610%2650%5Csim60%20%5C%5C%20%5Chline%20%E7%94%B5%E5%8A%A8%E6%B1%BD%E8%BD%A6%2610%2640%5Cend%7Bmatrix%7D$

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 $10%5Cmathrm%7Bm%7D$ 处测得实际声压分别为 $p_1$ ， $p_2$ ， $p_3$ ，则

A. $p_1%20%5Cgeq%20p_2$

B. $p_2%20%3E%2010p_3$

C. $p_3%20%3D%20100p_0$

D. $p_1%20%5Cleq%20100p_2$

答案 ACD

解析本题通过应用题的情景考察对数函数的性质，属于中档题.

由 $L_p%3D20%5Ctimes%20%5Clg%5Cfrac%20%7Bp%7D%20%7Bp_0%7D$ ，得 $%5Clg%5Cfrac%20%7Bp%7D%20%7Bp_0%7D%20%3D%20%5Cfrac%20%7BL_p%7D%20%7B20%7D$ .

设在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 $10%5Cmathrm%7Bm%7D$ 处的声压级分别为为 $L_%7Bp1%7D$ ， $L_%7Bp2%7D$ ， $L_%7Bp3%7D$ .

A、D. $%5Clg%20%5Cfrac%20%7Bp_1%7D%20%7Bp_2%7D%20%3D%20%5Cfrac%20%7BL_%7Bp1%7D-L_%7Bp2%7D%7D%20%7B20%7D%20%5Cin%20%5Cleft%5B0%2C2%5Cright%5D$ ， $p_2%20%5Cleq%20p_1%20%5Cleq%20100p_2$ ，故A、D说法均正确.

B. $%5Clg%20%5Cfrac%20%7Bp_2%7D%20%7Bp_3%7D%20%3D%20%5Cfrac%20%7BL_%7Bp2%7D-L_%7Bp3%7D%7D%20%7B20%7D%20%5Cin%20%5Cleft%5B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%2C1%5Cright%5D$ ， $%5Csqrt%7B10%7Dp_3%20%5Cleq%20p_2%20%5Cleq%2010p_3$ ，故B说法不正确.

C. $%5Clg%20%5Cfrac%20%7Bp_3%7D%20%7Bp_0%7D%20%3D%20%5Cfrac%20%7BL_%7Bp3%7D%7D%20%7B20%7D%3D2$ ， $p_3%3D100p_0$ ，故C说法正确.

故选：ACD.

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