Part 1 宫内网和交叉网

你知道吗？之前讲到的题目，在完成基本网的删数后，继续往下做，会得到两三个数对的删数，然后可以出数，然后题目依然比较难（虽然网的使用有降低题目的难度，不过依然会比较难）。

不过，有一些思维可以帮助我们在同一个技巧之中找到更多的删数。诸如标准鱼删除不了的数，可以借助它的变型版本，诸如宫内鱼和交叉鱼来为宫建立定义域区域，然后删数。网其实也是由宫内和交叉版本的。

我们依然拿出之前的示例作出解释。

如图所示，我们只去看绿色的单元格。我们按照网的思路，对全部绿色单元格内的候选数作出全覆盖策略：每一个数都找一个它所属的行和列。发现的结果如下所示：

• r3(45)、r6(68)、r9(257)

• c2(24)、c4(38)、c7(59)

• b1(16)、b5(29)、b7(36)、b9(3)

结构一共涉及了10个区域（r369c247b1579），而恰好使用了20个单元格，且一共包含20个不同的数字分配情况（称为链接点）。所以我们可以知道，20个单元格恰只能填入这20个不同的数字，不存在多余的数。所以可以删除共同对应的区域下的对应候选数。比如，我们因为可以确定c2的2和4一定填入到结构之中（r12678c2），所以c2的其余单元格一定不可填入2和4。所以删除它们。

图中所有不在结构之中的深色候选数（红、青、紫）均为删数。为了让读者看图更为清晰和明白，使用了颜色作为区分。

那么，根据鱼的命名规范，标准网其实也属于一种交叉网，因为交叉（Mutant）一词被定义为定义域区域或删除域区域同时涉及行和列的结构。而很明显，链接点按之前的说明，可以被视作为删除域区域。所以它肯定是一种交叉的结构。这里为了规避理解，网的宫内和交叉被定义为：

• 链接点只涉及行和列的，称为标准网（Basic MSLS）；

• 链接点涉及宫，但不同时涉及行和列的，称为宫内网（Franken MSLS）；

• 链接点同时涉及行、列、宫的，称为交叉网（Mutant MSLS）。

那，这里给出的是交叉网，因为行、列、宫全部都涉及到了。那么，宫内网结构有哪些呢？最基础的SDC就可以使用宫内网的理解思路来思考。

这个是之前的例子。你可以使用网的视角：

涉及4个单元格，且恰好有4个链接点。3和8是宫链接点，4和7是列链接点，恰好实现了全覆盖。所以可以删除对应区域的对应候选数。

不过说起来，最上面的图甚至可以看成是一个多段SDC（多米诺环），这就好像是部分交叉鱼可以看作是环一样。

Part 2 非矩形网

由于网结构类比于鱼结构来说，定义域区域变为了单元格（定义格），所以形态就不一定非要呈现鱼那样的矩形状态了。

如图所示，结构涉及21个单元格，其中的E5就是结构“多出来”的部分。之所以“多出来”三个字打了引号，是因为结构需要它们，它们并不是多余的，但对于矩形形状来说，就多了一块。

你可以尝试自行寻找结构的链接点。只要链接点实现了全覆盖，并且所有恰有21个链接点，就是可以的。答案并不一定是唯一的。

Part 3 其它饱和网

饱和一词本出现在鱼结构里，不过我们套用到这里来了。不过这并不重要，我们下一节才会讲到较难的部分，所以这里仅表示一个意义：定义格数和链接点数是一样的。

如图所示，这个网的删数实际上很简单，因为我们细数结构里的数字的分布情况，就可以发现，定义格一共8个，链接点也有8个，所以全部链接点对应的区域都可以删数，即图中所有标注在结构外部的涂色候选数。

Part 4 不饱和网

在鱼结构里，我们知道了，秩可以轻松判定一个鱼结构是否是饱和的。如果鱼结构不饱和，我们计算的秩就永远得不到0的结果；即使我们发现，有一部分情况满足等于0但删数依旧不是完整的时候，它们还具有自己特殊的使用逻辑和套路，我们如果把这个内容脱光到网里，到底会如何呢？

之前讲过一点关于鱼结构的术语——秩的内容。我们简单复习一下：

鱼的秩等于删除域区域数减去定义域区域数。一般来说，一个符合要求的鱼结构，秩必然大于等于0（小于0是不够填数的，直接矛盾）。那么网结构呢？其实，网也是有秩这一个说法的。实际上，所有数独技巧只要被包装为强弱区域的形式时，就均有秩一说，不过我们不过多说明这一点，这一点内容可以类比于鱼和网来自行理解和操作。

网也是一样，不过公式改为了这样：如果我们用字母D表示定义格数，L表示链接点数时，网的秩有如下公式：

所以我们可以知道，上面的所有题目之中，结构的秩均为0（定义格数和链接点数一样）。那么，是否存在类比于鱼结构的情况——链接点数多于定义格数呢？当然存在了。我们来看一则运用很灵活的例子。

如图所示，结构的链接点情况表示如下：

• r2(345)、r4(345)、r9(36)；

• c1(27)、c2(1)、c4(2)、c6(17)、c9(127)。

一共是16个定义格和17个链接点。秩为17 - 16 = 1。由于秩不为0，所以不可以像之前那样直接得到删数。那么原本可能存在的删数（图上不属于定义格外的候选数，红色和紫色）都是可能删掉的数字。橙色数字则是删掉了这些可能删的数后，产生的b9的127三数组的删数。

先不管那么多。我们先来思考一个问题。红色和紫色的删数之中，但凡有一个是对的，会如何？如果但凡有一个删数是对的，都会排除掉当前所在区域下的一个链接点，这样就变成了秩为0的网，所以其他的候选数（红色和紫色）都可以删掉了。

注意，这一步只是我们的猜想和假设，不代表这些数就一定在这一步就可以删掉了哈。这里特别强调一下。看能不能删数是需要找到与之矛盾的情况出现，才可以确定原假设错误，这样才可以直接删数。

接着我们发现，如果我们删掉了红色和紫色的候选后，橙色的肯定可以删除了（127数组），于是，观察r89，我们可以发现，数字1、2、7恰好只剩下六格可填：r89c359。于是这六格一定形成了一个拓展矩形结构的致命形式。这样一来就矛盾了。所以原假设错误了，故可以删除掉这些候选数。

另外，我们可以将上述结构表述为16\17网或+1网（+1表示结构的秩为1，17 - 16 = 1）。前者表示定义格数，后者表示链接点数，中间用反斜杠表示。

如图所示，我们可以得到一个强关系：

如果这样两个节点同假时，结构就会同时少两个链接点，原本是8\9的结构，就会变为8\7，于是秩变为7 - 8 = -1 < 0，所以矛盾。所以r8c35(7)和r79c7(7)至少有一个成立，删除r8c78(7)。

关于秩一词，就提到这里。

Part 5 自噬网

只要结构能和鱼差不多，那么可以肯定的是，自噬这个定义是跑不掉的。

如图所示，图中所有橙色和红色的数字都可以删除，而红色的数字是结构的一部分。换句话说，红色是自噬删数（本来结构需要它，但结构又论证它可以被删掉）。

首先我们可以数一下结构涉及的链接点数和单元格数。链接点分别是：

• r1(159)、r9(159)

• c1(456)、c9(456)

• b1(578)、b3(235)、b7(235)、b9(578)

一共是24个链接点，而单元格只有20个。显然是不能使用这个要求来删数的。因为结构的秩24 - 20 = 4 <> 0。但是这个结构神奇就神奇在，它不需要秩为0才可删数，但是思路需要借助之前用过的“强弱区域视角”和“跨区数组”的思路。

我们可以发现，结构内的这样24个链接点，之前说过，应将链接点看作弱区域，所以这样24个链接点，每一种数最多只能填入结构涉及的区域之中出现一次。那么24种数最多有24个数填进去，不过结构保证恰只填20个数。所以必然有4种数（四个链接点）是一定不在结构之中的。那什么数多了呢？5啊！仔细观察关于5的所有链接点，你会发现，即使相同位置的数字5也同时属于两个链接点区域之中。比如r9c2(5)就既属于链接点r9(5)，也属于链接点b7(5)。

继续分析，我们可以知道，其他数恰出现一次，但5一共涉及8个链接点区域，但最终只有其中4个链接点区域的5才是真正有效的，所以数字5是必然有4个填数填在结构之中，而其他的链接点还剩下24 - 8 = 16个（链接点），且此时结构其中四个单元格已经被5占了，剩下依然是20 - 4 = 16个（单元格）。于是这样分析一下，秩就恰好为16 - 16 = 0了。也因此，我们的担心——结构无法删数，其实是多余的。这也是稍显特殊的一点；而上述这种类似于多米诺环，删数却含有自噬的情况的结构，我们称为BB环（Bigger's Loop），由中国的数独玩家Bigger（网名）发现。

Part 6 SK环的拓展

显然，在前文的描述里，我们找到了一种这样的结构，而现在我们来看一个长相是多米诺环，但实际上删数不只是多米诺环基本删数的构型。

如图所示。这个结构是一个多米诺环，不过请仔细观察删数，你可以发现，b1379里都多出了候选数8的删数，而8并未在b1379里存在链接点。

我们这么去思考这个问题。数字8在整体结构内是必然会出现4个的，且分属于b1379里，换而言之，为了保证数独规则不违背，b1379里就得各有一个8的出现，位于这个多米诺环涉及的16个单元格里。那么这么去分析的话，8的删数就很好理解了：因为b1379的每一个宫都会存在8，所以b1379里显然是无法放入其它的8的，所以删掉它们。