欧拉公式简易证明

        前些天刷到很火的火柴人视频，想起大学时数学有天老师给的分组讨论给的题目就是一些经典题目的证明，不是说让你从头到尾证明一遍如果那样照抄就可以了，而是充分发挥想象力，或者加入自己的一些见解，原则是不能比高数课本上圆面积的证明更差劲即可——用我们老师的原话那个证明逻辑上的严密程度还不如小学六年级数学课本上圆面积的证明，当然这是题外话。给的题目有最速降线问题、欧拉公式、伯努利原理等等，倒霉催的组长抽到欧拉公式，不过还好没有抽到悬链线公式问题。几个人分工操作一番也算交了作业，现在回想起来也挺有意思，也发出来图一乐吧，事先声明这个不是严格证明，但关键步骤均使用Wolframα软件进行验算了。以下进入正题：

(1)当n趋向于无穷大时, lim(1+x/n)^n=e^x；

(2)左边的极限换一种写法(1+x/n)^n=(1+x/n)* (1+x/n) * (1+x/n)……一直乘n次，

        此时考虑一个问题：

        x取值为πi时会发生什么？

(3)为好理解写回原来式子 lim(1+πi/n)^n当n=1时，我们在复平面上画图：

      此时我们可以看到n取值1时，这个极限其值D为1+πi，

注:(该极限如果要从头到尾详细说明是相当繁琐，如果实在理解不了你可以马后炮的说极限一定存在)

        如果n取2呢？3呢？……一直到n，复平面上会发生什么？取值2的情况比较简单省略，我们直接看取3的情况

(3)当n取3时

        易知AC=1, CD=π/3, 根据棣莫弗定理(证明过程为四则运算此处不累述)，△ACD，△ADG， △AGE均相似且为直角三角形，显然这些相似三角形中，顶点A对应的角均相等；

        眼尖的人此时已经知道极限的往哪里奔了！

(4)取值为n的情况又如何呢？此时我们得到n个三角形，我们先看第一个小三角形：

4.1对于△ACD，显然此时AC=1，CD=π/n，n趋向于无穷大时AD的极限为1，证明过于简单且地方不够大就不写了。

        此时可顺便求得∠DAC=arctg(π/n)，这个后面会用到

4.2接下来我们再看第n个小三角形：

        由棣莫弗定理可知所有小三角形顶点A对应的夹角均相等；

        ∠EAF记为角α；

        则第n个直角三角形的斜边长度AF=lim sec^n(α),as α->0,n->+∞(n为正整数)

        该极限的值为1；

4.3对于这n个三角形，顶点为A的所有角的和lim n(arctg(π/n)),as n->∞，易知该极限值为π——诸位有头铁的在这里可以去求以原点为顶点的角所对应的那条直角边的和，n趋向于无穷大时，该极限存在而且正好也是π。所以第1个和第n个三角形的斜边在n->∞时斜边的长度趋向于1，n个三角形以原点为顶点的角之和为π，那么该点为复平面上实轴-1的位置。

综上所述，

n趋向于无穷大时；

lim(1+x/n)^n=e^x；

lim(1+πi/n)^n=e^πi；

lim(1+πi/n)^n=-1；

e^πi=-1