例题

1. （多选题）对于如图的函数

   极小值点取值范围（）

   极大值点的取值范围（）

   A.(1,3）     

   B.(-1,1)     

   C.{1}     

   D{-1}     

   E{3}

解析一

常规求一阶导得

令其等于0得

即求以下方程的根，并分析根两边函数的情况即可

此时我们可以用三次方程的求根公式解出根，但运算量大且复杂，这时我们可以猜根，常见的根有1，-1，2，-2，0，1/2，-1/2等，我们把这些数代入，发现1是符合方程的，即1是方程的一根，这种方法为盲目猜根法

那么有人就问了，有没有科学一点的猜根法呢？

当然有！

下面我来介绍一种科学猜根法：

首先我们设x=p/q，其中p和q互质，且都是整数（这很重要），还是以这个方程为例，我们得到

整理得

进一步整理得

我们观察等号右边为整数，那么左边也必为整数，但p和q互质，它们相除为什么为也为整数？正是因为p等于p^3的系数1的约数，即p等于1或-1

同理我们把q^3放右边整理得

同理可得q等于1或-1

所以x的整数解为1或-1，带入检验得1符合方程

于是我们得到了一条一般结论：对于一般的高次方程，q可能为最高项系数的约数，p能为最低项系数的约数（常数项视为0次项），最后要带入检验

接下来我们就知道方程的一个因式是（x-1），于是我们就有

接下来介绍几种求出剩下因式的方法：

长除法

待定系数法

不妨设

展开得

各次项系数对应相等得

所以我们有

解以下这个二元一次方程即可

易解得

其实我们可以用待定系数一步到位，我们令

展开得

即可求出a和b,即x1和x2

这两种待定系数没有哪个绝对好，关键看你要提取出什么东西或怎样更好算

然后二阶求导得

所以一阶导函数图像为

所以一阶导函数图像为

所以原函数图像为

所以答案为AB；C.

那么，到这里整道题是否结束了呢？

并没有

我们回想一下我们刚开始的科学猜根法，直接用于题目的四次方程会怎么样？

显然q为四次项的系数的约数1或-1，p为常数项的系数的约数1，-1，3，-3

所以x可能取1，-1，3，-3，带入检验得1，-1，3符合

用待定系数法得

所以

接下来我们介绍一种知道方程的根画函数图象的方法——序轴穿根法

我们知道三个根把函数分为四部分

（-∞，-1）（-1，1）（1，3）（3，+∞）

我们分类讨论

在（-∞，-1）上，

（x-1)^2恒大于0，

（x-3)小于0，

（x+1)小于0,

所以函数整体大于0

同理我们得

在（-1，1）上，函数整体小于0

在（1，3）上，函数整体小于0

在（3，+∞）上，函数整体大于0

所以我们得到函数大致图像

那么我们在日常如何操作呢

我们先在x轴上标出根的分布

接着观察括号的指数，以图的右上角为起点画线，记住口诀“奇穿偶弹”（系数为奇数的根就穿过去，系数为偶数的根就弹过去，如图）

由图得答案为AB；C.

对于一般的如下式子：

也可以使用该方法

总结

1. 猜根（盲目猜根or科学猜根）

2. 因式分解

   1.两种待定系数

   2.长除法

   3.公式法（立方和差公式，完全平方公式，求根公式等）

   4.换元解两个方程（这里不作讨论）

画高次方程函数图像步骤

1. 因式分解

2. 序轴穿根法

   
   

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