很水的数学分析003：实数的序关系和运算

对于上一节，留下一个疑问：

对于我们从有理数轴上使用戴德金分割可定义实数集。那么我们从实数轴上再用戴德金分割，能否分割出新的东西出来？

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1.实数域的完备性

一个实数集定义完毕，它会有三个模块：

序结构、代数结构、拓扑结构。

其中稠密性和完备性都属于拓扑结构的描述。

对于实数域的完备性，最粗糙的描述即一条实数轴上每一点都完全对应一个实数，没有任何空隙。

而稠密性即每两个点之间总能找到一个点。

满足稠密性并不一定满足完备性。

2.戴德金定理

从上节我们知道，在有理数上做戴德金分割，分割出来的β集合（上集）：

若β有最小元素，则为有理数；

若β无最小元素，则为无理数。

若实数域的完备的话，从实数域上做戴德金分割，分割出来的β必定都有最小元素才行。

这就是戴德金定理。

戴德金定理表明实数域确实没有空隙，因此其刻画了实数域的完备性。戴德金定理是刻画实数域完备性的一个角度。

3.确界原理

确界原理从另一个角度刻画了实数域完备性。